Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 5 )

на бесконечной сфере в . Так как матрица материальных параметров задана внутри конкретной рассматриваемой области , то для определения она должна быть продолжена из в дополнение . При этом уравнение теперь рассматривается в с матрицей материальных параметров, не зависящей от x:

Теперь можно утверждать, что определена не только в “физической” области , но и в её “математическом” дополнении . Традиционно называется функцией Грина безграничной среды и является решением следующей задачи в :

Далее, для того, чтобы получить связь между таким фундаментальным решением и определенным только в “физической” области , воспользуемся теоремой взаимности для конкретной области с матрицами материальных параметров, зависящих только от частоты :

где - граница области , распадающаяся, как и раньше, на объединение

( - регулярная часть границы, - бесконечно удалённая граница, - цилиндрические поверхности, осями которых являются рёбра, - сферические поверхности, центрами которых являются вершины).

Для постановки задачи потребуются условия для области . Кроме того, в ядре интегрального оператора может содержаться составляющая решения, которая описывает физически не обоснованное излучение в зонах геометрической тени области (см. подробнее в Разделе 3.2) [18], [24], [27]. Это значит, что фундаментальное решение может содержать физически некорректные данные. Для их исключения вводятся условия “абсолютного поглощения” , реализуемые с помощью. оператора , действующего на (). Математическое описание такого оператора приведено в Разделе 3.2.

Итак, постановка задачи для ядра интегрального представления в однородной области принимает вид:

3.2 Условия излучения, условия в окрестности ребер и вершин, условия поглощения

В этом Разделе обсуждаются ограничения на класс решений на границах рассматриваемых сред.

Для условий излучения в известно множество различных форм записи. В работах [17], [30] было показано, что все эти формы могут быть записаны в некотором унифицированном виде, инвариантном по отношению к модели среды и выбранному математическому аппарату. В данной работе используется частный вид записи условий излучения в частотной области, предложенный для акустических сред в [17] и для упругих сред в [30]. В данной работе используется подобная форма по отношению к произвольным средам (см. Раздел 1.1).

Условия на ребрах и вершинах в широко используются при постановке начально-краевых задач в работах [17], [20], [23], [31], [32]. На начальном этапе рассмотрения этих условий, они включались в постановку задачи в явном виде [27]. В последнее время при развитом математическом аппарате установилась традиция вместо явной записи таких условий вводить специальный класс функций, в котором ищутся решения [31], [32]. Мы выбираем первый подход, работая при этом в рамках того же интегрального аппарата, в котором строится представление решения. При этом радиус цилиндрических (для ребер) и сферических (для вершин) поверхностей, по которым берется поверхностный интеграл, устремляется к нулю.

Особые условия абсолютного поглощения в, как отмечено выше, возникают из-за необходимости устранения физически ненаблюдаемых дефектов в матрице . Корректное фундаментальное решение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, может являться суммой некорректного частного решения, содержащего дефекты, и общего решения, которое должно содержать в себе компенсацию этого дефекта. Чтобы продемонстрировать наличие этих дефектов, рассмотрим их на примере строгих решений задач дифракции. Существует ряд начально краевых задач в среде с границами канонической (клин, конус, сфера, цилиндр и т. п.) формы (см., например, в [15], [18]), для которых получено строгое решение. Анализ этих решений показывает, что поле источника(ов) не существует в зоне его геометрической тени, порожденной вогнутыми частями границы. В рассматриваемой области вне зон тени выполняются классические принципы Ферма и Гюйгенса (зеленый пунктир на Рис. 3.1). В зонах тени это не так (красный пунктир на Рис. 3.1). В них выполняются обобщенные принципы Ферма и Гюйгенса, предложенные Адамаром в 1910 году [18].

Рис. 3.1

Обобщенный принцип Ферма описывает геометрическую форму области влияния, но не накладывает ограничений на решение системы уравнений. Эти ограничения накладываются с помощью интегрального оператора в условии поглощения в , определенного в работах [1], [2], [5], [6] следующим образом:

Как нетрудно заметить, оператор действует на , “отрезая” лишнюю, неправильную часть решения, полученную в зоне тени. Оператор является оператором ортогональной проекции с единичной нормой (см. [26], [29]). Оператор по строению подынтегральной целочисленной функции имеет свойство в том же пространстве H, что и оператор (см. [1], [2], [5], [6]). Функция введена по аналогии с оптикой и акустикой для сложных волновых процессов, используя концепции из [22], [34].

3.3 Структура фундаментального решения.

В этом Разделе рассматривается структура физически реализуемого ядра интегрального представления. Содержание этого Раздела использует результаты публикаций [1], [2], [5], [6].

Подставив оператор в постановку, получим систему, у которой каждое решение является физически реализуемым: