Волновые процессы в областях сложной формы в терминах композитных поверхностных интегральных операторов (стр. 3 )

где M – число регулярных частей , - множество ребер , - множество вершин (см Рис.1.2).

Наконец, для удовлетворения условиям существования и единственности (детальное рассмотрение этих условий см. в [35]) будем предполагать, что все среды однородны за пределами некоторого шара конечного радиуса . Это значит, что в во всех средах матрицы материальных параметров A и B не зависят от x. Итак, каждый материальный параметр представим в виде функции , где - постоянные, - переменные гладкие функции, - точки в соответствующей области . Матрицы в представимы в виде:

Компоненты матриц и - гладкие функции , для которых справедливо в . Матрицы и состоят из постоянных компонентов .

Рассмотрим начальные условия [12], которые задаются отдельно для каждой среды . Пусть в начальный момент времени t=0 волновые поля отсутствуют, т. е. : в заданной среде .

Рассмотрим пару граничных условий (см. в [12], [40]), которые задаются на разных регулярных участках границы среды . Волновые поля непрерывны при прохождении этих участков. Это значит, что на множестве таких границ выполнено следующее:

где и - матрицы согласования размерностей в соответствующих средах и , - точки на регулярных частях границы , - точки (на смежных с этими частями границ) частей границ границы .

Воспользуемся обратным преобразованием Фурье (см. детальное обоснование в [12]), для того, чтобы далее работать с пространством частот , а не времени t:

Применив преобразование к, получим новое матричное уравнение

,

в котором общая матрица материальных параметров имеет вид:

( - это одна из рассматриваемых областей , матрица M – соответствующая матрица материальных параметров в , запись в такой форме понадобится в будущем). При этом начальные условия в перейдут в условия комплексной сопряженности:

а граничные условия примут вид:

в средах с бесконечно отдаленными границами из граничных условий исключается условие на этих границах.

На бесконечно отдаленных границах сред волновые поля удовлетворяют условиям излучения [12], [17], [30]. Эти ограничения избавляют решение от физически неприемлемых волн, приходящих из бесконечности. Их формальная запись:

Помимо этого для на границе области в окрестностях её ребер (цилиндрические окрестности) и вершин (сферические окрестности) выполняются специальные условия и соответственно (см. подробнее в [15], [20], [23], [31], [32]), избавляющие решение от физически необоснованных источников энергии:

где и - условные обозначения в области множеств ребер и вершин соответственно. Явный вид условий приводится в Главе 3.

С учетом, , постановка задачи для блочной среды, составленной из областей , принимает вид:

Так как начальные условия в свелись к тривиальному свойству комплексной сопряженности решений, далее они не рассматриваются. Условия на границе раздела сред также не рассматриваются ниже, поскольку они не имеют отношения к интегральному представлению пространственных решений.

2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

В этой Главе рассмотрено обобщение теорем о дивергенции и взаимности на матричный формализм и выведены интегральные представления общего решения системы.

2.1. Теорема о дивергенции в терминах матричного формализма

В этом Разделе рассмотрено обобщение теоремы о дивергенции на матричный формализм (систему обозначений, введенной в разделе 1.1 главы 1).

Для вывода интегральных представлений в случае произвольной системы уравнений нам потребуется теорема, обобщающая классические теоремы о дивергенции, градиенте и роторе в терминах матричного дифференциального оператора. Ниже приводится вывод такой теоремы, следуя работам [38], [41].

Для произвольного скалярного поля выполнено следующее тождество:

Здесь – произвольная трёхмерная область, - его граница, - i-ый компонент вектора внутренней нормали . Введём в рассмотрение матрицу , состоящую из компонентов векторов нормали для различных материальных параметров матрицы , аналогичную по строению с матрицей . То есть все компоненты матрицы, имеющие вид меняются на . Теперь согласно, меняя на произведение , можем получить: