Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 11 )

5. Число проведенных опытов X случайно и может изменяться в пределах от 0 до ∞. Вероятность Каждый опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью (1—р). Построить ряд распределения числа успешных опытов.

6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа изделий, изготовляемых на поточной линии при нормальной настройке за период между двумя переналадками, если при нормальной настройке вероятность изготовления бракованного изделия равна р, а переналадка производится после изготовления k-го бракованного изделия.

7. Определить дисперсию числа атомов радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, если даны масса вещества М, период полураспада ТП, атомный вес вещества А, число атомов в грамм-атоме No.

(Рассеиванием и поглощением частиц пренебречь. Число Авогадро No=6,02∙1023 – число атомов грамм-атоме, т. е. в количестве вещества, вес которого в граммах равен атомному весу. Периодом полураспада вещества ТП называется время, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшатся в среднем вдвое).

Вариант-28

1. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник.

2. На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.

3. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?

4. Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных билетов равна 0,02.. Рассчитать вероятности хотя бы одного выигрыша на п билетов для n=1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,. 90, 100, если считать, что билеты принадлежат разным сериям.

5. Известно, что вероятность выхода из строя электронной лампы в течение Δх дней, с точностью до величины порядка малости более высокого чем Δх, равна kΔx независимо от величины х дней, которые лампа проработала до интервала времени Δх. Какова вероятность выхода из строя лампы в течение l дней?

6. Плотность вероятности неотрицательной случайной величины X имеет вид (χ-распределение)

где n>1.

Определить А, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

7. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия.

Вариант-29

1. Доказать, что события А, В и образуют полную группу.

2. На отрезке АВ длиной l наудачу поставлены две точки М и N. Определить вероятность того, что длины каждого из трех получившихся отрезков не превосходят заданной величины a .

3. Доказать, что при Р(А) = а и Р(В)=b ≠ 0 будет

4. Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05, Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

5. Производится три независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено любое целое число от 0 до 9. Построить ряд распределения суммы полученных чисел.

6. Блокировочная схема, состоящая из реле А, включенного последовательно с двумя реле В и С, соединенными параллельно, должна обеспечить замыкание цепи между клеммами I и II (рис.4). Вследствие неисправности реле А может не сработать с вероятностью 0,18, а реле В и С — с одинаковыми вероятностями, равными 0,22 Определить среднее число включений схемы до первого отказа блокировочной схемы.

Рис. 4

7. Определить асимметрию случайной величины, распределенной по закону Пуассона. (Асимметрией называется отношение )

Вариант-30

1. Имеются п+т из которых п выигрышных. Одновременно приобретаются k билетов. Определить вероятность того, что среди них s выигрышных.

2. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней, при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

3. В правом кармане имеются три монеты по 20 тийин и четыре монеты по 3 тийин, а в левом — шесть по 20 тийин и три по 3 тийин Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 тийин если монета берется наудачу.

4. Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

5 Последовательные ускоренные испытания приборов на надежность проводятся до первого отказа, после чего они прекращаются. Пользуясь понятием плотности вероятности для дискретной случайной величины, найти плотность вероятности случайного числа испытанных приборов, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна 0,5.

6. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой

(γ>0).

Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

7. Какое наибольшее расстояние допустимо между двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, находящегося посередине между ними, была не менее 0,5, если дальность обнаружения косяка для каждого из судов является независимой нормально распределенной случайной величиной с = 3,7 км и средним квадратическим отклонением σ =1,1 км?

Литература

1. Теория вероятностей и математическая

статистика. - М.,1999.

2. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистики. - М., 2000.

3. , . Эхтимоллар назарияси ва

математик статистика. - Т., 1980.

4. Курс теории вероятностей и

математической статистики. - М., 1982.

5. . Элементы теoрии вероятностей. - М.,1970.

6. Бородин курс теории вероятностей и

математической статистики. СПБ-Лань, 2002 . 256.

7. Манита вероятностей и математическая

статистика. Интернет – учебник. WWW.teor.ver.-

online.narod.ru

Содержание:

1. Теоретические вопросы……………………………3

2. Решения типовых задач……………………………13

3. Варианты типовых задач………………………….23

4. Литература ………………………………….55

Редактор