Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 1 )

Министерство высшего и среднего специального

образования Республики Узбекистан

Ташкентский государственный технический

университет им. Абу Райхана Беруни

, Г. Абдурахманов

Теория вероятностей

в задачах и упражнениях.

Учебное пособие

Ташкент-2009

Теория вероятностей в задачах и упражнениях. Учебное пособие./ , Г. Абдурахманов. Ташкент:

Таш. ГТУ, 2009.

Данное пособие предназначено для выполнения самостоятельных работ по теории вероятностей. В них даны теоретические сведения материала и приведены примеры решения задач. Пособие рассчитано для студентов – бакалавров высших технических учебных заведений.

Печатается по решению научно-методического совета Ташкентского государственного технического университета имени Абу Райхана Беруни.

Рецензенты: доцент А. Джамирзаев.

(НУ Уз.);

доцент И. Исканаджиев

(Таш. ГТУ)

© Ташкентский государственный технический университет, 2009

ГЛАВА-1

Теоретические вопросы.

1. Соотношения между случайными событиями

Случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С, ..., U, V, причем U — достоверное, а V — невозможное событие. Равенство А=В означает, что появление из этих событий влечет за собой появление другого. Произведение событий А и В есть событие С=АВ, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А и В есть событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Разность событий А и В есть событие С = А — В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит. Противоположное событие обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например, А и —противоположные события, причем означает, что А не происходит. События А и В несовместны, если AB=V. Событие Ak (k=1, 2, ..., п) образует полную группу, в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из них; при этом .

2. Непосредственный подсчет вероятностей

Если результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместные и равновозможные, то вероятность события равна отношению числа m, благоприятствующих этому событию исходов опыта к общему числу n всех возможных исходов, т. е. . Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

3. Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой части области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть SБ, то вероятность события равна . Области могут иметь любое число измерений.

4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Условной вероятностью события А называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что имело место событие В и :

.

События А и В независимы, если Вероятность произведения двух событий определяется по формуле

которая обобщается на произведение n событий:

События А1, А2, ..., Ап независимы в совокупности, если для любого т(т = 2, 3, ..., n) и любых

kj(j=1, 2, ..., п), 1 ≤ k1 < < k2 < … < km ≤ n,

5. Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ),

которая обобщается на сумму любого числа событий

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

6. Формула полной вероятности

Вероятность Р (А) появления события А, которое может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,...,Нп, образующих полную группу, несовместных событий (гипотез), определяется формулой полной вероятности

где

7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса)

Вероятность гипотезы Нk после того, как имело место событие А, определяется формулой

где

а гипотезы Hj (j=1, 2…, n) составляют полную группу несовместных событий.

8. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях

Вероятность Рп;m появления события m раз при п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р, определяется формулой биномиального распределения

где q=1 —р.

Вероятность появления события не менее m раз при п опытах вычисляется по формуле

или

Вероятность появления события хотя бы один раз при п опытах будет

Количество п опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше Р можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле

где р — вероятность появления этого события в каждом опыте.

Наивероятнейшее значение μ числа m появлений события равно целой части числа {п+1)р, а при целом (п+1)р наибольшее значение вероятности достигается при двух числах

μ 1 = (п+1)р — 1 и μ 2 = (n+1)р.

Если опыты независимы, но вероятности появления события различны, то вероятность Рn;m появления события m раз при п опытах равна коэффициенту при ит в разложении производящей функции

где qk = 1—рk , рk — вероятность появления события в k-м опыте.

Коэффициенты Рп:т могут быть определены дифференцированием функции G(u):

что дает, например,

Pn;0 = q1q2…qn.

9. Ряд, многоугольник и функция распределения дискретной случайной величины

Случайная величина называется дискретной, если ее частные (возможные) значения можно пронумеровать.

Дискретная случайная величина X может быть задана рядом распределения или функцией распределения (интегральным законом распределения).

Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений xi и соответствующих им вероятностей рi = Р (X = xi). Ряд распределения может быть задан в виде таблицы (табл. 1) или формулой.

Таблица 1

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Вероятности pi удовлетворяют условию

где число возможных значений п может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (xi) откладываются по оси абсцисс, а вероятности pi — по оси ординат; точки Ai с координатами (xi;pi) соединяются ломаными линиями (рис.1).