Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 6 )

Вариант 4

1.Буквенный замок содержит на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.

2.Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

3.Имеется п урн, в каждой из которых по т белых и по k черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны.

4.В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

5.Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциальный закон распределения)

(t ≥ 0).

Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т, б) плотность вероятности f(t).

6.Плотность вероятности случайной величины X имеет вид (закон арксинуса)

Определить дисперсию и срединное отклонение.

7.Случайное отклонение размера детали от номинала при изготовлении ее на данном станке имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, равное 5 мк. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них была хотя бы одна годная, если для годной детали допустимо отклонение размера от номинала не более, чем на 2 мк?

Вариант 5

1.События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний - сочинений, каждое из которых содержит по крайней мере три тома. События AS и Bk означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты S, а из второго k томов. Что означают события: а) А+В+С; б) ABC; в) A1+ В3; г) A2B2; д) (A1B3+B1A3)C?

2.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно а и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.

3.Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?

4.Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно от 0 до 5.

5.Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого равна 0,4, а для второго 0,6.

6.Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если вероятность отказа для всех приборов одна и та же и равна р, а число испытуемых приборов п.

7.Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения. В последнем случае расчет производить с помощью семизначных таблиц логарифмов.

Вариант 6

1.В кошельке лежат три монеты достоинством по 20 тийин и семь монет по 3 тийин Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая монета, оказавшаяся монетой в 20 тийин Определить вероятность того, что и первая извлеченная монета имеет достоинство в 20 тийин.

2.Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из общего числа N. Отыскание этой лампы производится путем поочередной проверки каждой лампы. Определить вероятность того, что придется проверять п ламп, если вероятности выхода из строя каждой лампы одинаковы.

3.Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии
2/3 деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные?

4.Электрическая схема, содержащая два блока типа А, один блок типа В и четыре блока типа С, составлена так, как это показано на рис.3. Определить вероятность разрыва цепи, неустранимого с помощью ключа К, если элементы

Рис.3

типа А выходят из строя с вероятностью 0,3, элементы типа В — с вероятностью 0,4, элементы типа С — с вероятностью 0,2.

5.Функция распределения Вейбулла

(x ≥ 0)

в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры.

Найти: а) плотность вероятности f(x); б) квантиль распределения порядка р; в) моду распределения.

6.Скорость молекул газа имеет плотность вероятности (закон Максвелла)

Найти математическое ожидание и дисперсию скорости молекул, а также величину А при заданном h.

7.Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание = — 15 м и срединное отклонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения для значений аргумента через каждые 10 м и построить график.

Вариант 7

1.Событие А — хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и?

2.Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1, 2, 3, 4, 5).
Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами Зr и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки: а) в круг радиуса 2r; б) в заштрихованную область.

3.Известны вероятности событий А, В и АВ. Найти вероятность события и условную вероятность

4.Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6 и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

5.Сигналы на включение приборов подаются через каждые 5 сек. Время от момента передачи сигнала до включения прибора 16 сек. Подача сигналов прекращается сразу же после того, как включится хотя бы один прибор. Найти ряд распределения для случайного числа поданных сигналов, если вероятность включения для каждого прибора равна 1/2.

6.Первый игрок бросает 3, а второй 2 одинаковых монеты. Выигрывает и получает все 5 монет тот, у которого выпадает большее число гербов. В случае ничьей игра повторяется до получения определенного результата. Каково математическое ожидание выигрыша для каждого из игроков?

7.Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Вариант 8

1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N при а) возведении в квадрат; б) возведении в четвертую степень; в) умножении на произвольное целое число даст число, оканчивающееся единицей.

2. Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна половине. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.

3. Случайная точка может находиться только в вершинах ромба Bj (j=1, 2, 3, 4), переходя за один шаг из Bj в Bj+1 с вероятностью pk (k=1, 2, 3), из Bj в Bj+2 с вероятностью

qj=1—pj (j=1, 2), а из В3 в В2 с вероятностью q3=1—p3. Определить вероятность перехода случайной точки из вершины В1 в В4

а) не более, чем за s шагов (s = 3, 4);

б) когда-либо.

4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие А произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие А не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие А имело место один раз. Определить вероятность появления события В.