Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 3 )

При система непрерывных случайных величин может интерпретироваться как случайная точка на плоскости, а при

- как случайная точка в пространстве.

Вероятность попадания случайной точки в область равна интегралу от плотности вероятности по этой области.

Основными числовыми характеристиками системы случайных величин являются математические ожидания

Дисперсия

и корреляционные моменты

Аналогичным образом вычисляются моменты для дискретных случайных величин, где интегрирование заменяется суммированием

По всем возможным значениям случайных величин.

Вторые центральные моменты составляют корреляционную матрицу

где . Иногда оказывается удобной формула

.

Случайные величины входящие в систему, не коррелированны ( не связаны), если недиагональные элементы корреляционной матрицы равны нулю.

Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами и служит коэффициент корреляции

Коэффициенты корреляции составляют нормированную корреляционную матрицу

где .

Непрерывные случайные величины входящие в систему, независимы, если

и зависимы, если , где - плотность вероятности случайной величины .

Дискретные случайные величины независимы, если при всех возможных

16. Числовые характеристики функций случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ,

Связанной заданной функциональной зависимостью со случайной величиной , плотность вероятности которой известна, определяются формулами

Аналогичным образом находятся начальные и центральные моменты любого порядка:

Данные формулы обобщаются на любое количество случайных аргументов: если то

где - плотность вероятности системы случайных величин . Все интегралы предполагаются сходящимся абсолютно.

Для дискретных случайных величин интегралы в приведенных выше формулах заменяются соответствующими суммами, а плотности – вероятностями соответствующих наборов значений случайных величин .

Так, например, если , где - система двух случайных величин, то

Если функция линейная, т. е. , то

где - корреляционный момент случайных величин и .

Знание закона распределения случайных аргументов для нахождения моментов функции не является необходимым также и в других частных случаях. Пусть , тогда . Если, кроме того, случайные величины не связаны, т. е. корреляционный момент равен нулю, то

Последняя формула может быть обобщена на любое число независимых случайных величин: .

Если - ый начальный момент линейной функции независимых случайных величин существует, то он определяется формулой

где - характеристическая функция случайной величины .

2-ГЛАВА

Решения типовых задач

Пример 1.

Из таблицы случайных чисел наугад выбраны два числа. События А и В соответственно означают, что выбрано хотя бы одно простое и хотя бы одно четное число. Что означают события АВ и А+B?

Решение. Событие АВ означает наступление событий А и В, т. е. из двух выбранных чисел одно простое, а другое четное. Событие А + В означает наступление хотя бы одного из событий А и В, т. е. среди двух выбранных чисел имеется хотя бы одно простое или хотя бы одно четное число или хотя бы одно из этих чисел простое, другое четное.

Пример 2

Определить вероятность того, что последние две цифры у куба наудачу взятого целого числа N равны единице. (Под «наудачу взятым числом» здесь понимается k-значное число (k>1), у которого каждая цифра равновозможная от 0 до 9.)

Решение. Представим N в виде N=a+10b+…, где а, b,... — произвольные числа, могущие принимать любые значения от 0 до 9 включительно. Тогда N3 =a3+a2b+… Отсюда видно, что на две последние цифры у N3 влияют только значения а и b. Поэтому число возмож­ных значений n=100. Так как последняя цифра у N3 равна единице, то имеется одно благоприятствующее значение a=1. Кроме того, должна быть единице последняя цифра у , т. е. должно оканчиваться на единицу произведение 3b. Это будет только при b=7. Таким образом, благоприятствующее значение единственное (a=1, b=7), поэтому p=0,01.

Пример 3

На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение на интервале 20 м, на второй — записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начала обоих сообщений равновозможны в любой точке от 0 до 180 м.

Рис. 2.

Решение. Пусть х и у — координаты начала, причем х≥у. Так как 0≤ х ≤180, 0≤ у ≤180 и х≥у, то областью возможных значений х и у является треугольник с катетами по 180 м. Площадь этого треугольника

м2.