Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 4 )

Найдем х и у, благоприятствующих указанному событию. Для того чтобы получилась непрерывная запись необходимо выполнение неравенства x – y ≤ 20 м. Чтобы интервал записи был не менее 25 м, должно быть х—у ≥ 5 м. Кроме того, для получения непрерывной записи на интервале от 60 до 85 м должно быть

45 м ≤ у ≤ 60 м, 65 м ≤ х ≤ 80 м.

Проведя границы указанных областей, получим, что благоприятствующие значения х и у заключены в треугольнике, площадь которого м2 (рис.2). Искомая вероятность равна отношению площади SБ, попадание в которую благоприятствует данному событию, к площади области S возможных значений х и у, т. е.

Пример 4

Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие небракованное, а событие В — выбранное изделие первосортное.

Дано: Р(А)= 1 — 0,04 = 0,96, Р (В | А) = 0,75.

Искомая вероятность p = P (AВ) = 0,96 ∙ 0,75 = 0,72.

Пример 5

Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что при испытании не получено ни одного бракованного изделия, а через В — событие,- состоящее в том, что получено только одно бракованное изделие. Искомая вероят­ность р=Р (А + В). События А и В несовместны. Поэтому p=P (А) + P(B).

Из 100 изделий 50 можно выбрать способами. Из 95 небракованных изделий 50 можно выбрать способами. Поэтому . Аналогично Тогда

Пример 6

Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».

Решение. Пусть событие А — принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: Н1 — передан сигнал «точка», Н2 — передан сигнал «тире». По условию Р(Н1):Р(Н2)= 5:3. Кроме того, P(Н1)+P(Н2)= 1. Поэтому Известно, что

Вероятности событий А и В находим по формуле полной вероятности:

Искомые вероятности будут:

а)

б)

Пример 7

Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны

p = q=1/2.

а) Вероятность выиграть три партии из четырех

Вероятность выиграть пять партий из восьми Так как вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

Так как- то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример 8

Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа X дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Решение. Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения хi случайной величины X равны:

x1 = 0, x2 = 1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4, х6 = 5.

Вероятность) Р(X = k) того, что в выборке окажется ровно k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна

В результате расчетов по данной формуле с точностью до 0,001 получим:

р1 = Р (X = 0)=0,583, р2 = Р (X = 1)=0,340,

р3 = Р (X = 2)=0,070,

р4 = Р (X = 3)=0,007, р5 = Р (X = 4)=0,

р6 = Р (X = 5)=0.

Используя для проверки равенство , убеждаемся, что расчеты и округление .произведены правильно (см. табл. 2).

Таблица 2

xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,583	0,340	0,070	0,007	0	0

Пример 9

Проекция X радиуса-вектора случайной точки окружности радиуса а на диаметр имеет функцию распределения (закон арксинуса)

Определить: а) вероятность того, что X окажется в пре-
делах промежутка ; б) квантиль x0,75; в) плотность вероятности f(x) случайной величины X; г) моду и медиану. распределения.

Решение. а) Вероятность того, что X окажется в пределах равна

.

б) По условию р=0,75; решая уравнение

находим

в) Плотность вероятности f(x) случайной величины Х равна:

1) Для всех х, принадлежащих промежутку (-а; а),

2) нулю для всех остальных значений х.

3) Закон арксинуса моды не имеет, так как функция

не имеет максимума.

Решая уравнение

находим медиану х0,5 = 0.

Пример 10

Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение. Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

x1=0, x2=1, х3=2, x4=3, х5=4, х6=5.

Вероятности pi = P (X=xi) того, что X принимает данное значение xi равны (см. пример 10.1)

(i =1, 2, 3, 4, 5, 6).

Искомое математическое ожидание

Так как есть коэффициент при u5 в произведении в (l+u)10(1+u)90, то есть коэффициент при u5 в выражении