Теория вероятностей в задачах и упражнениях (стр. 2 )

Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины X называется функция

F (х),

Рис. 1

равная вероятности Р(Х<х) того, что случайная величина будет меньше произвольно выбранного значения х. Функция F(x) вычисляется по формуле

где суммирование ведется по всем значениям i, для которых xi<x.

10. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x), удовлетворяющая при любых х равенству

Функция f(x) называется плотностью вероятности

Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(x) (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности f(x) (дифференциальным законом распределения).

Функция распределения F(x) = Р (X < х), где х — произвольное действительное число, дает вероятность того, что случайная величина X окажется меньше х.

Функция распределения F(x) имеет следующие основные свойства:

1) P(a ≤ X< b) = F(b) — F(a);

2) F(x1)≤F(x2), если x1<x2;

3)

4)

Плотность вероятности (дифференциальный закон распределения) f(x) обладает следующими основными свойствами:

1) f(x)≥0;

2)

3)

4)

Величина хр, определяемая равенством F(xp)=p, называется квантилем порядка р; квантиль х0,5 называют медианой. Если плотность имеет максимум, то значение х, при котором f(x) достигает максимума, называется модой.

11. Числовые характеристики дискретных случайных величин

В качестве числовых характеристик дискретных случайных величин чаще всего используются моменты этих величин.

Начальный тk и центральный μk моменты k-гo порядка дискретной случайной величины определяются формулами

где М [Xk] — математическое ожидание Xk, хi — возможные значения случайной величины X, pi — соответствующие им вероятности, а — математическое ожидание X. Таким образом, начальный момент первого порядка определяется формулой

второй центральный момент, или дисперсия, — формулой

или формулой

Среднее квадратическое отклонение σ определяется соотношением

Если вероятности различных значений случайной величины X зависят от события Аk, то условное математическое ожидание случайной величины X при условии осуществления Аk есть

Если Аk (k=1, 2, ..., т) образуют полную группу несовместных событий, т. е. , то полное математическое ожидание Х связано с условным математическим ожиданием формулой

Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического ожидания ряд должен сходиться абсолютно.

12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание =М[Х] и дисперсия D[X] случайной величины X, имеющей плотность .вероятности f(х), вычисляются по формулам

Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение σ определяется формулой

Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия

Начальный момент k-го порядка mk и центральный момент k-го порядка μk вычисляются по формулам

Для существования моментов нечетного порядка необходима абсолютная сходимость соответствующих интегралов.

13. Закон Пуассона

Законом распределения Пуассона называется ряд распределения случайной величины X вида

где а = М[X].

Законом Пуассона может быть приближенно заменено биномиальное распределение, когда вероятность р появления события А в каждом отдельном опыте мала, а число п производимых опытов велико. В этом случае имеет место приближенное равенство

где а = пр.

14. Закон нормального распределения

Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид

или

где σ —среднее квадратическое отклонение, - срединное отклонение (иногда называемое и «вероятным отклонением»), ρ = 0,476936 ...

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал (х1, х2) вычисляется по одной из следующих формул:

1)

где — функция Лапласа (интеграл вероятности);

2)

где - приведенная функция Лапласа.

15. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин.

Функция распределения (интегральный закон распределения) системы n случайных величин определяется формулой

Для системы непрерывных случайных величин существует плотность вероятности (дифференциальный закон распределения) определяемая формулой .

Система дискретных случайных величин характеризуется совокупностью вероятностей , которые могут быть сведены в таблицу с n входами (по числу случайных величин).

Функция распределения для непрерывных случайных величин выражается в виде кратного интеграла

,

Для дискретных случайных величин – в виде кратной суммы

,

где суммирование производится по всем возможным значениям каждой из случайных величин, для которых .