Геометрическая кристаллография (стр. 2 )

Рис. 3.	Рис. 4.

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами j и r.

Например, пусть некоторое направление А задано сферическими координатами j=165° и r=68°: А (165°, 68°). Требуется найти стереографическую проекцию этого направления.

1. Накладываем кальку на сетку и ставим на ней центральный крестик и черточку нулевого индекса для j (рис. 3);

2. От нулевого индекса для j по кругу проекций (по часовой стрелке) отсчитываем первую сферическую координату – долготу j (165°) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной чертой;

3. Вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную черту с концом ближайшего диаметра сетки;

4. По этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черты отсчитываем вторую сферическую координату – полярное расстояние r (68°) – и отмечаем найденную точку небольшим кружком;

5. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку а.

Точка а является искомой стереографической проекцией направления А.

В кристаллографии эта задача обычно применяется при решении следующих вопросов:

1. Даны сферические координаты нормали к грани кристалла; требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани, или, что то же самое, гномостереографическую проекцию самой грани.

2. Даны сферические координаты ребра кристалла или какого-нибудь его характерного направления (например, оси симметрии); требуется построить стереографическую проекцию этого ребра (или направления).

Предлагаем самостоятельно изобразить стереографические проекции следующих направлений: В (309°, 55°), D (51°, 37°), Е (122°, 90°) и Н (205°, 124°)

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.

1. Вращением кальки приводим заданную точку (стереографическую проекцию направления) на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем сферическую координату r и отмечаем вспомогательной чертой на круге проекций тот конец упомянутого диаметра, в направлении которого лежит наша точка (рис. 3).

2. По кругу проекций отсчитываем сферическую координату j: от нулевого индекса по часовой стрелке до вспомогательной черточки.

Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

Например, провести дугу большого круга через стереографические проекции а и b направлений А (165°, 68°) и В (309°, 55°).

1. Вращением кальки добиваемся того, чтобы обе заданные точки a и b оказались на одной из вспомогательных меридиональных дуг сетки Вульфа.

2. Найденную дугу тщательно обводим карандашом и возвращаем кальку в исходное положение (рис. 4).

Если заданные точки изображают гномостереографические проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гномостереографическую проекцию ребра между обеими гранями, (для получения гномостереографической проекции ребра последнее заменяем плоскостью, к нему перпендикулярной, и находим стереографическую проекцию этой плоскости).

Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат упомянутые ребра.

Предлагаем провести на кальке также дуги bd и ad через заданные выше точки.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и В).

1. Как и при решении предыдущей задачи, вращением кальки совмещаем данные точки а и b с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).

2. Отсчитываем по этой меридиональной дуге количество градусов, заключенных между точками а и b (рис. 4). В результате получаем ÐAB=113°.

Примечание. Аналогично можно найти, что ÐAD=86°, а ÐBD=70°.

Если заданные точки представляют собой гномостереографические проекции граней, то измеренный угол является углом между нормалями к этим граням.

Если же заданные точки являются стереографическими проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (под полюсом дуги разумеют точку, равноотстоящую от всех точек дуги на 90°).

Например, требуется найти полюс дуги аb (см. рис. 4).

1. Вращением кальки совмещаем заданную дугу аb с соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа.

2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к центру сетки 90° (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную точку.

3. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку – Pab.

(Проверьте, измерив углы между любыми точками дуги аb и точкой Pab, что последняя действительно является полюсом этой дуги.)

Найденная точка Pab, как легко проверить, действительно является полюсом дуги аb.

Если точки a и b являются гномостереографическими проекциями граней, дуга – гномостереографическая проекция ребра между ними, а полюс этой дуги – его стереографическая проекция.

Если заданная дуга представляет собой стереографическую проекцию грани, то найденный полюс дуги является стереографической проекцией направления, перпендикулярного к этой грани, или, что то же самое, гномостереографической проекцией самой грани.

Следует подчеркнуть, что, поскольку работа с точками гораздо быстрее и удобнее работы с линиями, чаще всего используют смешанную проекцию: грани кристалла изображают в гномостереографической проекции, ребра и оси зон – в стереографической. Все элементы симметрии принято изображать в стереографической проекции.

Предлагаем найти полюса дуг ab, bd и ad и определить их сферические координаты.

Ответ: Pаb (62°, 61°); Pbd (194°, 59°); Pad (269°, 60°).

Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору.

1. Вращением кальки приводим заданный полюс на горизонтальный диаметр сетки.

2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки 90° (перейдя за него) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой экваториальной дугой относительно заданного полюса.

Если заданный полюс выражает гномостереографическую проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует стереографической проекции той же грани.

Если заданный полюс представляет стереографическую проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической проекции.

Рекомендуем обратить особое внимание на решение задач 5 и 6, так как именно они содержат механизм переходов от стереографической проекции к гномостереографической и обратно.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.

Например, требуется измерить угол между дугами ab и ad (см. рис. 4).

1. Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг – а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.

2. Приняв эту вершину за полюс, проводим отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6).

3. Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной искомого угла.

Если заданные дуги больших кругов являются стереографическими проекциями граней, то измеренный угол представляет собой угол между гранями.

На рисунке 4 угол при вершине а равен 65°, при вершине b – 75° и при вершине d – 116°.

Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние α (задача на построение малого круга).

Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной на проекции точке, имеется множество направлений, отклоненных от первого на один и тот же угол a и образующих в совокупности конус с углом раствора 2a. Пересечение этого конуса с поверхностью сферы дает малый круг, в центре которого находится точка пересечения заданного направления со сферой. Согласно теореме, гласящей, что стереографическая проекция круга является также кругом [2], стереографическая проекция исходного направления является только стереографическим, а не геометрическим центром (геометрический центр совпадает со стереографическим лишь в том частном случае, когда это направление совмещено с осью проекций). Это и составляет основную трудность данной задачи.

Пусть заданная точка лежит внутри круга проекций (например, точка b (309°, 55°) на рис. 5). Требуется построить вокруг нее, как стереографического центра, малый круг заданного радиуса (a=30°).

Рис. 5.	Рис. 6.

Для этого совмещаем заданную точку с какой-либо параллелью, изображенной на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое расстояние a и отмечаем полученные при этом две точки. Вращением кальки приводим заданную точку на какую-либо другую параллель сетки и аналогичным путем получаем пару новых точек. Повторяем такой прием до тех пор, пока полученные точки не начнут совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта последняя может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных точек совмещается путем наложения с упомянутой параллелью, по которой в несколько приемов вычерчивается, в конце концов, требуемый малый круг.