Случайные события и случайные величины (стр. 2 )

№ 5. В группе 10 студентов, из них 4 девочки. Для участия в викторине выбирают двух человек. Найти вероятность того, что выбрали девочек.

№ 6. В наборе из 15 конфет 9 шоколадных. Наудачу извлечены 5 конфет. Найти вероятность того, что среди них

1) все 5 шоколадные; 2) ровно 3 шоколадные; 3) по крайней мере одна шоколадная.

№ 7. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3. Найти вероятности следующих событий:

1) все выбранные карты – тузы; 2) среди них 2 туза; 3) среди них по крайней мере один туз.

№ 8. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

№ 9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня только, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№ 10. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

№ 11. На восьми карточках написаны буквы И, Р, Д, А, З, Н, П, К. Карточки перемешаны и случайным образом разложены в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ПРАЗДНИК?

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. В классе учащиеся изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 15 человек, оба языка изучают 2 человека. Сколько человек изучают французский, если всего в классе 23 человека.

№ 2. Монета брошена три раза. Определить вероятность того, что герб выпадет а) один раз; б) два раза; в) хотя бы два раза.

№ 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность следующего события: сумма выпавших очков равна шести, а произведение равно восьми.

№ 4. Из 10 книг 6 в переплёте. Наудачу извлекают 4. Найти вероятность того, что

1) все 4 в переплёте; 2) 2 в переплёте; 3) хотя бы одна в переплёте.

№ 5. Из полного шахматного набора (32 фигуры) наудачу извлечены 3 фигуры. Найти вероятность того, что среди них:

1) один слон; 2) хотя бы один слон.

№ 6. Для праздника купили 6 красных, 5 желтых и 4 синих шаров. Мальчик наудачу выбрал и надул 5 шаров. Найти вероятность того, что среди этих шаров:

1) все шары красные; 2) 3 красных и 2 желтых шара; 3) 2 красных, 1 желтый и 2 синих шара; 4) по крайней мере 1 шар желтый.

№ 7. Мальчик наугад составил музыкальную композицию, используя 5 различных нот. Какова вероятность того, что эта композиция: до, ля, ми, ре, си.

№ 8. Мальчик наугад составил музыкальную композицию, используя 5 нот, среди которых могли быть повторяющиеся. Какова вероятность того, что эта композиция: до, ля, ми, ре, си.

№ 9. Какова вероятность того, что при случайном расположении кубиков, на которых написаны буквы А, И, Р, П, Т, Я, Ц, Е, получится слово ТРАПЕЦИЯ?

№ 10 . Найти вероятность того, что в случайно названном четырехзначном числе все цифры четны.

№ 11. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 400 рублей каждая, три книги – по 100 рублей и две книги – по 300 рублей. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 500 рублей.

Геометрический и статистический подходы к определению вероятности (не для СМ-91)

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. После бури на участке между 20-м и 40-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Найти вероятность того, что разрыв произошел между 30-м и 35-м километрами линии.

№ 2. Внутрь круга радиуса r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг правильного треугольника.

№ 3. В шаре радиуса R помещен меньший шар радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший шар, попадет также и в малый шар.

№ 4. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 10 см. На плоскость наудачу брошена монета радиусом 2 см. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 5. Монета радиусом R случайным образом брошена на пол, вымощенный квадратным паркетом. Длина стороны квадрата l; (l>2R). Найти вероятность того, что монета окажется лежащей внутри некоторого квадрата.

№ 6. Два человека будут находиться в определенном месте между 10 и 11 часами. Каждый из них проведет там 20 минут. Какова вероятность того, что они встретятся, если приход каждого человека в течение указанного часа может произойти в любое время?

№ 7. Найти вероятность того, что произведение двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превышает 1/3.

№ 8. Из 50 выстрелов по цели было 43 попадания. Найти относительную частоту попаданий в цель.

№ 9. Установлено, что относительная частота всхожести семян равна 0,95. Какое количество семян из 200 высаженных может дать нормальные всходы?

___________________________________________________________________________________________

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Отрезок АВ разделен точкой С так, что АС:СВ=2:3. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, попадет на отрезок СВ.

№ 2. Внутрь круга радиусом r брошена точка. Найти вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в круг квадрата.

№ 3. На плоскость, которая разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одну из параллельных прямых.

№ 4. Найти вероятность того, что сумма двух выбранных наудачу положительных чисел, каждое из которых не больше 3, не превышает 4.

№ 5. Рабочий обслуживает 2 станка. Каждый из них требует внимания рабочего в течение 10 минут за один час. Найти вероятность того, что в течение часа один из станков потребует внимания рабочего в то время, когда он занят другим станком.

№ 6*. Точка (c;q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1). Найти вероятность того, что уравнение x2+cx+q=0 имеет два действительных корня.

№ 7. При проверке качества изделий из 200 проверенных было обнаружено 10 бракованных. Найти относительную частоту появления брака.

Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность и формула Байеса

Задачи

№ 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого 0,7, для второго 0,6. Найти вероятности следующих событий: А − мишень будет поражена; В − первый стрелок попадет, а второй нет; С − только один попадет по мишени.

№ 2. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа 1-ый станок потребует внимание рабочего равна 0,5, 2-ой станок − 0,6, 3-ий станок − 0,8. Найти вероятности следующих событий: А − два станка потребуют внимания рабочего; В − все станки потребуют внимания рабочего; С − по крайней мене один станок потребует внимания рабочего.

№ 3. Из шести мужчин и четырех женщин в командировку наудачу выбрали двух человек. Найти вероятности следующих событий: 1) вторым выбрали мужчину, если первый раз выбрали женщину, 2) вторым выбрали мужчину, если первый раз тоже выбрали мужчину, 3) оба раза выбрали мужчину.

№ 4. На пяти карточках написаны буквы К, К, А, А, С. Какова вероятность того, что при случайной раскладке этих карточек в ряд получится слово “КАСКА”? (Решить двумя способами)

№ 5. Из 25 вопросов студент знает 20. Найти вероятность того, что из трех заданных студенту вопросов он знает: А − все три вопроса; В − хотя бы один вопрос. (Решить двумя способами)

№ 6. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

№ 7. В тире 6 винтовок, 4 снабжены оптическим прицелом. Стрелок наудачу выбирает винтовку. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки без оптического прицела 0,72. Найти вероятность попадания в цель.

№ 8. Имеются 3 партии изделий: 25% − изделия первой партии, 40% − изделия второй, остальные − изделия третьей партии. Вероятность того, что изделие без дефекта для первой партии равна 0,8, для второй – 0,85, для третьей – 0,9. Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие оказалось без дефекта.

№ 9. На стоянке 2 машины. Подъезжает третья − легковая. Найти вероятность того, что первая отъехавшая машина − легковая, если равновозможны все предположения о первоначальных машинах.

№ 10. Имеются 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие − брак. Одно изделие из первой партии переложили во вторую. После чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность того, что извлечено бракованное изделие.

№ 11. По условию задачи 7 определить вероятность того, что выстрел был сделан из винтовки с оптическим прицелом (без прицела), если цель была поражена.

№ 12. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен, 3 человека (отличники) знают все 20 вопросов, 4 человека (хорошисты) знают 16 вопросов, 2 человека (троечники) знают 10 вопросов, 1 человек (двоечник) знает 5 вопросов. Студенту предложили 3 вопроса, на которые он ответил. Какова вероятность того, что он отличник?

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. Два друга сдают экзамен. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8. Вероятность того, что второй сдаст экзамен, равна 0,6. Найти вероятности следующих событий:

А − только первый сдаст экзамен;

В – только один из них сдаст экзамен;

С − хотя бы один из друзей сдаст экзамен.

№ 2. Из аэропорта вылетели 3 самолета. Вероятность того, что самолеты не отклонятся от намеченного пути, для них соответственно равна 0,8; 0,75, 0,7. Найти вероятности следующих событий: