Случайные события и случайные величины (стр. 5 )

Дискретные случайные величины

Задачи для аудиторного занятия

№ 1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Наудачу выбираются 3 детали. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа стандартных деталей в выборке. Определить вероятность события Х 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

№ 2. Рабочий обслуживает 2 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего 0,7; второй станок не потребует внимания рабочего 0,8. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа станков, потребовавших внимание рабочего в течение часа. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

№ 3. Составить закон распределения (определить вид распределения), функцию распределения с. в. Х − числа попаданий мяча в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске р = 0,4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

№ 4. Два стрелка стреляют по мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5, для второго стрелка равна 0,6. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − общего числа попаданий в мишень. Определить вероятности событий: 2<Х 4, Х. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

№ 5. Вероятность того, что банкомат сработает правильно 0,999. Составить закон распределения (вид распределения – ?) с. в. Х − число раз использования банкомата до первой ошибки.

№ 6. По условию задачи №1 оценить и , используя неравенство Чебышева.

(Неравенство Чебышева:

Вероятность того, что с. в. ξ отклонится по абсолютной величине от на величину, меньшую δ (δ>0) будет больше или равна , т. е. .

Вероятность того, что с. в. ξ отклонится по абсолютной величине от на величину, большую или равную δ (δ>0) будет меньше или равна , т. е. )

№ 7. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

xi	-3	-2	-1	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,1	0,3	0,2	0,1

Составить закон распределения, функцию распределения с. в. . Найти , и

№ 8. С. в. может принимать 2 значения: с вероятностью и с вероятностью . Составить закон распределения с. в., если и .

№ 9. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2:1. Наудачу на отрезок АВ бросаются 4 точки. Случайная величина ξ – число точек, попавших на отрезок АС. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

Задачи для самостоятельного решения

№ 1. В урне 5 белых, 4 черных шара. Наудачу извлекают два шара. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа белых шаров в выборке. Найти , и .

№ 2. Вероятность того, что первый из трех вылетевших самолетов долетит до места назначения 0,9, второй − 0,95, третий − 0,92. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа самолетов, долетевших до места назначения. оценить и .

№ 3. Составить закон распределения (в виде таблицы и графически), функцию распределения с. в. Х − числа выпадений герба при четырехкратном подбрасывании монеты. Определить вероятности следующих событий: , . Найти , и .

№ 4. Два мальчика играют в игру: один загадывает любое натуральное число от 1 до 20, другой отгадывает. Игра идет до первого правильного ответа. Составить закон распределения с. в. Х − число раз, которое мальчики играют до первого отгадывания.

№ 5. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

xi	-1	0	1	2	3
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Составить закон распределения, функцию распределения с. в. . Найти , и .

№ 6. С. в. может принимать 2 значения: с вероятностью и с вероятностью . Составить закон распределения с. в., если и .

№ 7. На базу отправлено 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Случайная величина ξ − число поврежденных изделий. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

№ 8. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,02. Случайная величина ξ − число купленных билетов до первого выигрыша. Определить вид распределения случайной величины. Вычислить , и .

Непрерывные случайные величины

Теория

Функция распределения . Плотность распределения вероятностей f(x)= .

Условие нормировки .

Замечания: 1)

2) ξ – непрерывная с. в. F(х) – непрерывная функция (не распространяется на f(x)).