Случайные события и случайные величины (стр. 1 )

Ю Г О - З А П А Д Н Ы Й Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

Кафедра высшей математики

Случайные события и случайные величины

Материалы к практическим занятиям

по разделу математики

«Теория вероятностей, математическая статистика»

Для студентов групп ПЭ-01, СМ-91, СМ-91б, УК-91

Курск

2011

План занятий по математике по разделу

«Теория вероятностей, математическая статистика»

№	Тема занятия	Дата занятия
ПЭ-01	СМ-91, -91б	УК-91
1	Элементы комбинаторики	10.02.2011	09.02.2011	17.02.2011
2	Классический подход к определению вероятности	24.02.2011	09.03.2011	03.03.2011
3	Геометрический и статистический подходы к определению вероятности	10.03.2011	Рассматривается на лабораторных занятиях 02.03.2011	17.03.2011
4	Сложение и умножение вероятностей. Полная вероятность и формула Байеса	24.03.2011	23.03.2011	31.03.2011
5	Повторные испытания Тест по теме «Случайные события»	07.04.2011	06.04.2011	14.04.2011
6	Дискретные случайные величины	21.04.2011	20.04.2011	28.04.2011
7	Непрерывные случайные величины. Тест по теме «Случайные величины»	05.05.2011	04.05.2011	05.05.2011 (дата может быть изменена)
8	Элементы мат. статистики. Выборочный метод	19.05.2011 (возможна лабораторная работа)	18.05.2011	12.05.2011
9	Проверка статистических гипотез	02.06.2011 (возможна лабораторная работа)	01.06.2011	26.05.2011
10	Подготовка к коллоквиуму	На дополнит. занятии	На дополнит. занятии	На дополнит. занятии

Замечание. Защита модулей осуществляется вне аудиторных занятий.

Для групп СМ-91, СМ-91б, УК-91

1 модуль	2 модуль	3 модуль
до 01.04.2011	до 06.05.2011	до 03.06.2011

Для группы ПЭ-01

1 модуль	2 модуль	Лабораторная (в случае проведения)
до 01.04.2011	до 06.05.2011	до 03.06.2011

Элементы комбинаторики

Формулы

Число сочетаний из n по k

Число сочетаний из n по k с повторениями

Число размещений из n по k

Число размещений из n по k с повторениями .

Число перестановок n элементов

Число перестановок n элементов с повторениями

Задачи для аудиторных занятий

№ 2.1 Даны элементы а, b, с. Записать все возможные размещения и сочетания из 3 по 2, перестановки 3-х элементов. Вычислить число размещений, сочетаний и перестановок.?

№ 2.2 Брошены две игральные кости. Чему равно общее число исходов испытания?

№ 2.3 Сколько существует трехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 3, 6, 8, если

а) каждая цифра входит в изображение числа только один раз,

б) цифры в записи числа могут повторяться?

№ 2.4 Сколько можно передать сигналов с помощью 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

№ 2.5 В торговом зале работает 8 продавцов-консультантов. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности кассира, упаковщика подарков и дежурного по залу?

№ 2.6 Из восьми продавцов-консультантов нужно выбрать трех упаковщиков подарков. Сколько возможно вариантов выбора?

№ 2.7 Сколько существует трехзначных чисел без повторяющихся цифр?

№ 2.8 Сколькими способами можно расположить на книжной полке 5 книг?

№ 2.9 Сколькими способами можно расположить на книжной полке 5 книг так, чтобы 2 определенные стояли рядом?

№ 2.10 На карточках написаны буквы к, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из трех букв можно составить?

№ 2.11 На карточках написаны буквы к, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из пяти букв можно составить?

№ 2.12 На карточках написаны буквы к, о, р, о, н, а. Сколько всевозможных слов из шести букв можно составить?

№ 2.13 В коробке 6 стандартных деталей и 4 не стандартные детали. Сколькими способами можно выбрать 3 детали.

№ 2.14 В коробке 6 стандартных деталей и 4 не стандартные детали. Сколькими способами можно выбрать 3 из них так, чтобы

а) они оказались стандартными,

б) только 2 из выбранных оказались стандартными,

в) хотя бы одна из них была стандартная.

№ 2.15 В коробке 8 синих, 7 красных и 6 зеленых шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 из них так, чтобы

а)все были красными,

б) только 3 из выбранных оказались синими,

в) хотя бы один из них был зеленый.

№ 2.16 Задача про зубы.

Задачи для самостоятельного решения

№ 2.1 Брошены три игральные кости. Чему равно число возможных исходов испытания?

№ 2.2 Из пункта А в пункт С можно добраться только через пункт В. Из А в В ведет 4 пути, из В в С – 6 путей. Сколько возможных путей из А в С?

№ 2.3 Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых используются только цифры 0; 1; 2; 3; 4, если

а) цифры в записи числа не повторяются,

б) возможны повторения цифр в записи числа.

№ 2.4 Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых используются только цифры 0; 1; 2; 3; 4, если

а) цифры в записи числа не повторяются,

б) возможны повторения цифр в записи числа.

№ 2.5 В президиум собрания избраны 5 человек. Из их числа необходимо выбрать двух человек для выступления. Сколько возможно вариантов?

№ 2.6 В президиум собрания избраны 5 человек. Из их числа необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколько возможно вариантов?

№ 2.7 Сколькими способами можно распределить 8 человек в двух четырехместных купе? (Задача заковыристая)

№ 2.8 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 человек?

№ 2.9 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 6 человек так, чтобы 2 определенных человека сидели рядом?

№ 2.10 Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 3 девочек и 3 мальчиков так, чтобы никакие 2 мальчика и никакие 2 девочки не сидели рядом (то есть надо по принципу "мальчик-девочка").

№ 2.11 На карточках написаны буквы к, а, р, у, с, е, л, ь. Сколько всевозможных слов из четырех букв можно составить?

№ 2.12 На карточках написаны буквы к, а, р, у, с, е, л, ь. Сколько всевозможных слов из восьми букв можно составить?

№ 2.13 На карточках написаны буквы м, а, р, м, е, л, а, д, к, а. Сколько всевозможных слов из десяти букв можно составить?

№ 2.14 В коробке 7 шаров красного цвета и 3 шара зеленого цвета. Сколькими способами можно выбрать 4 шара из коробки?

№ 2.15 В коробке 7 шаров красного цвета и 5 шара зеленого цвета. Сколькими способами можно выбрать 4 шара из коробки так, чтобы

а) они все оказались красного цвета,

б) только 2 из них оказались красного цвета,

в) хотя бы один из них оказался красного цвета.

Классический подход к определению вероятности

Теория

Простейшим пространством элементарных исходов является пространство, в котором все исходы опыта

1)  равновозможны; 2) попарно несовместны; 3) образуют полную группу событий.

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов.

В этом случае для определения вероятности события можно воспользоваться классическим подходом, суть которого в том, что вероятность события А вычисляется по формуле:

,

где n – число элементарных исходов в пространстве Ω, k – число элементарных исходов, благоприятных событию А.

Задачи для аудиторных занятий

№ 1. Монета брошена два раза. Определить вероятность того, что герб выпадет по крайней мере один раз.

№ 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

А − сумма выпавших очков равна шести; B − сумма выпавших очков равна семи, а разность равна трем.

№ 3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлечённый кубик имеет окрашенных граней а) одну; б) две; в) три.

№ 4. В группе 10 студентов, из них 4 девочки. Для участия в викторине выбирают одного человека. Найти вероятность того, что выбрали девочку.