Прямая задача гамма-каротажа методом свертки (стр. 4 )

Целесообразно сохранить существующую традицию измерения гамма-поля в единицах МЭД. Но при переменных параметрах , r и ЕП следует уточнить параметры функций К0(ЕП, ) и f(r,,x).

Из выражения (3.1.5) следует, что при изменении значения К0 за счет изменения порога регистрации ЕП должно происходить какое-то, в общем случае неизвестное, изменение . Последнее неизбежно должно сказаться на функции f(r,,x). Введение параметра ЕП в выражение зависимости f(r,,x) нелогично и нецелесообразно.

В насыщенной по гамма-излучению среде значение К0(ЕП,) может быть выражено в следующем виде:

К0(ЕП,) = Кn Bn(ЕП,)/p(ЕП), (3.1.6)

где: p(ЕП) - коэффициент приведения к единицам МЭД по радиевому источнику в единицах плотности потока квантов с энергией Е> ЕП на единицу МЭД, Bn(ЕП,) - фактор накопления по рассеянным квантам с энергией Е> ЕП. Зависимость К0 от значений ЕП и формируется, в основном, фактором накопления Bn(ЕП,), значение которого существенно увеличивается при уменьшении значения ЕП и уменьшается при увеличении значения . В ненасыщенной по гамма-излучению среде с постоянным значением активных и вмещающих пород форма спектрального распределения гамма-квантов практически постоянна во всех точках среды. С другой стороны, средняя длина пробега рассеянных гамма-квантов тем меньше, чем меньше их энергия, а, следовательно, основная их часть, проходящая через единичную площадку в точке измерений и определяющая значение коэффициента Bn, формируется в непосредственной окрестности этой площадки (точки измерений). С учетом этих соображений процесс переноса излучения от элементарных излучающих объемов (пластов) в точку измерений может рассматриваться, как процесс переноса высокоэнергетических квантов с постоянным значением эффективного коэффициента ослабления излучения, что определяет зависимость функции влияния среды только от r и , с последующим учетом размножения гамма-квантов в окрестностях точки измерения, т. e. определением значения коэффициента К0 непосредственно для точки измерения с учетом энергетического порога регистрации излучения детектором и эффективного атомного номера окружающей детектор среды. Последнее будет удобно и тем, что при расчете эффективного номера окружающей среды может учитываться и влияние на среднее значение диаметра скважины, бурового раствора и обсадной колонны.

На основании вышеизложенных соображений формула (3.1.1) может быть уточнена следующим образом:

p(x) = K0(ЕП,,x), (3.1.7)

где х - координаты по стволу скважины определения мощности экспозиционной дозы излучения, - координаты задания параметров и функций свертки.

Соответственно для выражения (3.1.2) имеем:

n(x) = p(x), (3.1.8)

где: (ЕП) - дозовая чувствительность детектора в единицах частоты импульсов на единицу МЭД точечного радиевого источника в реальной конструкции скважинного прибора для того же значения энергетического порога регистрации, что и значение К0(ЕП). Смена значения е на значение определяется сменой единиц пересчетного коэффициента.

Выражения (3.1.7) и (3.1.8) принимаются за базовые выражения решения прямой и обратной задачи гамма-каротажа для проведения исследований.

3.2. Функция влияния среды.

Аналитическое выражение функции влияния среды должно представлять собой функцию распределения в среде гамма-поля, создаваемого активным единичным пластом, в пределе - бесконечно тонким.

В принципе, функция влияния бесконечно тонкого пласта известна:

dp(x) = -2p Kp q() r() Ei, (3.2.1)

где: Еi(-х) =exp(-x)/x dx - экспоненциальный интеграл,

- расстояние от точки до точки измерений в долях свободного пробега гамма-квантов, Кр - гамма-постоянная радия в единицах МЭД на беккерель. Однако непосредственное использование выражения (3.2.1) в ограничительных условиях весьма проблематично.

При постоянных параметрах среды по значениям r и функция влияния бесконечно тонкого пласта может быть аппроксимирована выражением (с вынесением значения К0):

f(x) = 1/(2L) exp(-|-|/L), (3.2.2)

где L = L(r,) - параметр переноса излучения. Выражение (3.2.2) расходится с функцией влияния бесконечно тонкого пласта на величину не более 3%.

При переменных параметрах среды возможность использования приближения (3.2.2) определяется возможностью фиксации значения множителя 1/2L в правой части уравнения по точке расположения активного пласта. При выделении постоянного множителя при экспоненте, параметр экспоненты может задаваться аналогично уравнению (3.2.1), т. e.:

. (3.2.3)

При оперативной обработке информации интегрирование по в (3.2.3) может быть заменено последовательным суммированием значений хi/L(xi) от xi = до по интервалам дискретизации информации или содержаний q(x) при решении прямой и обратной задачи соответственно.

Для выяснения этой возможности перейдем от бесконечно тонкого пласта к пласту конечной мощности h с единичным содержанием радиоактивных элементов в пределах пласта:

f(x, h) = q(x) * f(x), (3.2.4)

Решение уравнения (3.2.4) имеет вид:

f(x, h) = sh(h/2L) exp(- /L), h/2, (3.2.5)

f(x, h) = 1- exp(-h/2L) ch(/L), h/2. (3.2.6)

При h< L:

f(x, h) ® h/2L, () = 0, (3.2.7)

f(x, h) ® (h/2L) exp(-/L), ()h/2. (3.2.8)

Отсюда можно видеть, что множитель при экспоненте в выражении (3.2.8) есть не что иное, как доля МЭД в центре активного пласта от значения МЭД бесконечного пространства с параметрами (по r и ), эквивалентными параметрам среды в окрестностях точки () = 0. В условиях вариации параметров r и по координате значение L в множителях при экспоненте в выражении (3.2.5) должно рассчитываться по условиям окрестностей точки xi = () = 0, содержащей концентрацию элементов q(xi), и стабилизировано по отношению к другим точкам расчета влияния данной концентрации q(xi).