Билет №1 (стр. 3 )

, где - ситуация игры. Игра выражается платежной матрицей.

В отличие от теории игр теория минимакса представляет собой математический аппарат, который может быть использован для решения ЗПР в конфликтных антагонистических ситуациях, реализуемых ограниченное число раз и ведущих к тяжелым и долговременным последствиям.

Математическим аппаратом решения ЗПР в условиях влияния факторов стохастической природы является теория статистических решений или как еще ее называют «теория статистических игр».

Билет №9

1. Функция выбора.

Функция выбора – правило, по которому из множества возможных альтернатив выбирается Выбор: , где – исходное множество альтернатив, - подмножества области известных или заданных(?).

Процесс принятия решения распадается на этапы:

1. Формализация предпочтений.

2. Построение функции выбора:

- в условиях определенности по скалярному или векторному критерию.

- в условиях неопределенности: стохастической, поведенческой, природной.

3. Изыскание рациональных альтернатив.

4. Содержательный анализ альтернатив.

5. Выбор наилучшего решения для реализации принятия решения (разработка плана).

2. Принятие решений в условиях повторяющейся одноуровневой конфликтной ситуации.

Для того чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить, учтя только основные факторы. Упрощенная схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Правила игры представляют собой систему условий, регламентирующих весь процесс развития игры. В частности, правилами игры, определяются возможные варианты (способы) действий каждой и оперирующих сторон в конфликтной ситуации. В математической теории игр предполагается, что правила игры (в том числе и возможные варианты действий) известны каждой из оперирующих сторон и неукоснительно ими выполняются.

Стороны, участвующие в конфликте, условно именуются игроками, а оценка исхода конфликта – выигрышем (или проигрышем, платежом). Игроками могут быть как отдельные личности, так и целые коллективы, имеющие общие цели.

В игре могут сталкиваться интересы двух и более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Участники множественной игры могут образовывать постоянные или временные коалиции. Множественная игра с двумя постоянными коалициями обращается в парную игру.

Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока, преследующих прямо противоположные цели. Парная антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю: один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй.

Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой индивидуальную партию игры.

Поскольку рекомендации теории игр по выбору оптимального поведения основаны на предположении о многократной повторяемости конфликта, то оптимальное в соответствии с рекомендациями теории игр поведение участников конфликтной ситуации является оптимальным «в среднем» (на множестве партий игры).

Билет №10

1. Процесс принятия решения. Его этапы.

В связи со сложностью проблемной ситуации разработка решения проходит в 2 этапа:

- обоснование решения (процесс проведения подготовительной работы для осуществления осознания выбора ЛПР).

- принятие решения.

Также процесс можно разбить на другие этапы:

- анализ проблемной ситуации

- формулирование цели и результата для оценки степени достижения

- изучение генезиса и особенностей механизма ситуации

- формирование предварительного множества альтернатив достижения цели операции

- оценка альтернатив.

2. Теория игр: основные понятия.

Теория игр – это совокупность математических методов для анализа и оценки правил поведения в конфликтных ситуациях (шашки, карты, военное дело, спорт). Упрощенная схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой. Правила игры представляют собой систему условий, регламентирующих весь процесс развития игры. Цена игры — среднее значение выигрыша одной стороны и проигрыша другой. Стороны, участвующие в конфликте, условно именуются игроками, а оценка исхода конфликта – выигрышем (или проигрышем, платежом). В игре могут сталкиваться интересы двух и более противников. В первом случае игра называется парной, во втором - множественной. Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока, преследующих прямо противоположные цели. Парная антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю: один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй. Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой индивидуальную партию игры. Ход – выбор одного из предусмотренных вариантов решения. Личный ход – сознательный выбор игроком одного из возможных решений. Случайный ход – выбор решения некоторым механизмом случайного выбора (бросая монету). Игра с полной информацией – каждый игрок при каждом личном ходе знает результат всех ходов противника. Стратегия игрока – подробное описание того, как должен поступить игрок. Чистая стратегия – стратегия, выбираемая игроком в результате сознательного акта, без привлечения какого-либо случайного механизма. Смешанная стратегия – добавляется фактор вероятности. Минимаксная и максиминная стратегии образуют пару минимаксных стратегий. Минимаксные стратегии часто называют стратегиями предельной осторожности или стратегиями гарантированного результата (выигрыша или проигрыша). Конечная игра – конечное число стратегий у каждого игрока. Игры делятся на коалиционные (игроки разбиваются на коалиции и действуют в ее интересах с целью максимизации суммарного коалиционного выигрыша) и бескоалиционные (каждый из них делает один ход – выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегии). По виду функций выигрыша: матричные – это конечная игра 2 игроков с нулевой суммой: биматричные – это конечная игра 2 игроков с ненулевой суммой.

Билет №11

1. Оптимальное решение. Критериальная функция.

Оптимальность – наилучший вариант ПР. Критерий – значимая, понятная ЛПР, хорошо им интерпретируемая характеристика исхода принятого решения.

Ситуацию мы измеряем при помощи критериев. F = зависимость от факторов = критериальная функция. Могут быть одно (монокритериальные, скалярные) и многокритериальные (критерии, которые должны быть достигнуты одновременно – поликритериальные или векторные).

2. Парная антагонистическая игра: формальное описание.

Парная игра разыгрывается между двумя игроками. Будем именовать их игрок 1 и игрок 2. Кроме того, условимся в дальнейшем, выступая в роли ЛПР, рассуждать и действовать на стороне игрока 1; при этом игрок 2 будет выступать в роли «противника».

Обозначим через X и Y множества возможных стратегий игрока 1 и игрока 2 соответственно. Величины x Є X и y Є Y будут обозначать конкретные стратегии игроков 1 и 2. Каждая конкретная стратегия игрока представляет собой некоторую совокупность указаний, определяющих последовательность его личных ходов в некоторой конкретной партии игры.

Игра может содержать, кроме личных ходов, и случайные ходы. Обозначим через H множество случайных стратегий. Любая конкретная стратегия hЄH представляет собой некоторую последовательность всех случайных ходов в некоторой конкретной партии игры. Каждая конкретная стратегия h будет происходить с некоторой вероятностью P(h), которая может быть подсчитана на основании вероятностей каждого случайного хода в этой последовательности; последние задаются правилами игры.

Функция P(h) представляет собой распределение вероятностей на пространстве H и должна удовлетворять условиям:

P(h) ≥ 0, (3.1)

Обозначим через g некоторый конкретный вариант игры, то есть некоторую индивидуальную партию игры. Каждая партия игры будет определена, если выбраны стратегии игроков 1 и 2, то есть xЄX и yЄY, и стратегия случайных ходов hЄH. Следовательно, всякая конкретная партия g игры определяется тремя элементами x, y, h.

Будем условно обозначать конкретную партию игры в виде

g = (x, y, h) (3.2)

Результатом партии игры является выигрыш (или проигрыш) каждого из игроков. Этот результат не всегда имеет количественное выражение. Однако для получения количественных оценок принимаемых решений результат игры необходимо хотя бы условно, представить числом (например, выигрыш – 1, проигрыш – 0, ничья – 0,5).

Рассмотрим одну из конкретных партий игры g = (x, y, h) и обозначим через L1 (x, y, h) и L2 (x, y, h) величины проигрыша первого и второго игрока соответственно. Условимся проигрышу приписывать знак «+», а выигрышу –