Билет №1 (стр. 7 )

2.  отсутствие среди функциональных ограничений неравенств, что влечет за собой требование m ≤ n;

3.  отсутствие областных ограничений и требований неотрицательности;

4.  отсутствие требований дискретности переменных.

Если хотя бы одно из требований не удовлетворяется то, задача не может быть классифицирована как классическая задача МП.

Классические задачи МП в свою очередь подразделяются на два подкласса по признаку отсутствия или наличия ограничений: задачи отыскания безусловного экстремума и задачи отыскания условного экстремума с ограничениями – равенствами.

Задачи отыскания безусловного экстремума. В этих задачах отсутствуют ограничения на область допустимых значений вектора переменных X = (x1, x2, …, xn), то есть отсутствуют функции gi (X). Следовательно область Ω(X) совпадает со всем n-мерным пространством переменных.

Постановка имеет вид

F (X) → max (3.9)

Задачи отыскания условного экстремума с ограничениями типа неравенств. Постановка задачи имеет вид

F (X) → max,

gi (X) = bi, i Є 1,m; 0 < m < n. (3.10)

Задачи этого типа в результате применения специального метода, который называется методом множителей Лагранжа сводится к предыдущей задаче – задаче безусловной оптимизации (3.9).

Особенность классических задач МП состоит в том, что они могут быть решены средствами классических методов, основанных на использовании дифференциального исчисления. Однако при решении задач таким способом могут встретиться вычислительные трудности. Поэтому изучение данного способа носит скорее теоретический, чем прикладной интерес.

2. Критерий пессимизма-оптимизма Грувица.

Если требуется остановиться между линией поведения "рассчитывай на худшее" и линией поведения "рассчитывай на лучшее", то оптимальным решением будет то, для которого окажется максимальным показатель G. Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда «рассчитывай на худшее»), ни оптимизмом («все будет наилучшим образом»). Рекомендуется некое среднее решение. Этот критерий имеет вид:

где - некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала

между 0 и 1.

Билет №24

1. Доказательство сведения стохастической ЗПР к детерминированной на примере двух конкурирующих фирм.

Рассмотрим задачу распределения однородных средств захвата в количестве Nз по сов-ти из n точечных целевых объектов рынка, различающихся своими коэффициентами относительной важности V = V1, V2…Vn. Величина Vi образует n-мерный вектор V, определяющий шкалу важности объектов. Искомое распределение средств захвата по объектам рынка может быть представлен n-мерным вектором X, где Xi – количество средств захвата. Ограничения для задачи – . Для воспрепятствования захвата объектов рынка у фирмы-конкурента имеются средства противодействия в количестве Nпр. Для простоты задачи будем считать, что средства противодействия стационарно распределены по объектам рынка. Это может быть представлено n-мерным вектором Y. Y = y1, y2…yn. Каждое ср-во противод-я может воспрепятствовать захвату с вероятностью pi: P = p1, p2…pn. Каждая из средств захвата может «поразить» объекты рынка с вероятностью wi: W = w1, w2…wn. Предполагается, что V, Y, P и W полностью известны ЛПР заранее. Исход рассматриваемой задачи случаен. Каждая конкретная стратегия приводит к множеству возможных исходов. ЛПР ответственен за распределение средств захвата, преследует цель захватить как можно большее число объектов рынка. Показателем эффективности может служить количество захваченных объектов рынка. Придерживаясь концепции оптимизации в среднем, ЛПР в качестве значения критерия принимает средневзвешенное по коэффициенту относительной важности математического ожидания количества захваченных рынков.

F = F (X, Y, V, P, W) =

2. Общая постановка многокритериальной детерминированной статической задачи принятия решений.

Пусть имеет место некоторая операция, исход которой зависит от действия ЛПР и некоторых неслучайных фиксированных факторов, полностью известных оперирующей стороне и характеризующих условия протекания операций и свойства участвующих в ней объектов. Стратегию оперирующей стороны обозначим символом X. В частных случаях задачи X может быть скаляром, вектором, матрицей или еще более сложным образованием. Для определенности будем считать, что стратегия оперирующей стороны представляет собой n-мерный вектор, то есть X = (x1, x2, … , xn) = (xj), j Є 1,n. Ограничения можно представить в общем виде как условия gi = gi (Ci, X) ≥ bi, i Є 1,m где gi – некоторая функция; bi – фиксированная скалярная величина; Сi – некоторая совокупность фиксированных величин (например, скаляр, вектор и т. п.).

Эффективность действий ЛПР оценивается совокупностью критериев e1, e2, …, ek, которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности λ1, λ2, …, λk.

Критерии eq, q Є 1,k образуют вектор критериев E = (eq), а коэффициенты λq – вектор важности Λ = (λq). Критерии eq, q Є 1,k, входящие в состав векторного критерия E, будем называть частными или локальными критериями. Каждый локальный критерий характеризует некоторую локальную цель операции.

Локальные критерии, в свою очередь, могут быть как скалярами, так и векторами или какими-то более сложными образованиями.

Каждый локальный критерий eq связан со стратегией, то есть

eq = eq (Aq, X), q Є 1,k (5.2)

где Aq – некоторая совокупность фиксированных факторов.

Тогда векторный критерий Е будет представлять собой вектор-функцию от стратегии Х, то есть

Е = ( еq (Аq, Х) ) = Е (А, Х) (5.3)

где А – совокупность констант, соответствующая совокупности локальных констант Аq, q Є 1,k.

Пусть цель ЛПР состоит в увеличении возможных значений всех локальных критериев эффективности. Средством достижения цели операции является соответствующий выбор стратегии Х из области ΩХ ее допустимых значений.

Очевидно, что одновременное достижение цели по всем локальным критериям за счет выбора стратегии Х невозможно. Выход состоит в том, чтобы прибегнуть к некоторому компромиссу в достижении локальных целей операции.

Таким образом, перед ЛПР стоит задача: требуется найти оптимальную стратегию Х, определяемуюдвумя условиями: 1) стратегия Х должна быть осуществима, то есть должна принадлежать множеству ΩХ ее допустимых значений; 2) стратегия должна быть оптимальной в смысле принятого в задаче принципа компромисса с учетом вектора Λ важностей локальных критериев.

Иными словами, оптимальное решение Х должно удовлетворять соотношению

Е = Е(Х) = opt [E (X), Λ], X Є ΩХ (5.4)

где символами Х и Е обозначены оптимальное значение стратегии Х и соответствующее ей оптимальное значение вектора эффективности Е, а символом opt обозначен некоторый оператор оптимизации.

Оператор opt определяет принцип оптимальности, то есть принцип, определяющий выбор наилучшего решения среди всех допустимых. Принцип оптимальности представляет собой математическое выражение (математическую модель) принятого в задаче принципа компромисса. Конкретный смысл оператора opt должен быть указан в каждом частном случае ЗПР.