Билет №1 (стр. 4 )

«-», то есть выигрыши рассматривать как отрицательные проигрыши. Общая сумма L∑ (x, y, h) проигрышей обоих игроков в партии g = (x, y, h) равна

L∑ (x, y, h) = L1 (x, y, h) + L2 (x, y, h) (3.3)

В парной антагонистической игре общая сумма проигрышей L∑ (x, y, h) равна нулю: проигрыш одного игрока – выигрыш другого.

Проигрыш игрока 2 в теории игр называется потерями. С их помощью оценивают результат игры. Обозначим потери как L (x, y, h). Очевидно, что

L (x, y, h) = L2 (x, y, h) = - L1 (x, y, h) (3.4)

Поскольку стратегия h является случайной, то при выбранных стратегиях x и y игроков 1 и 2 потери L (x, y, h) будут случайной величиной с распределением вероятностей P(h) на множестве H случайных стратегий. Чтобы оценить выбранные стратегии x и y игроков на бесконечном множестве партий игры, прибегнем к приему усреднения потерь L (x, y, h) по всему множеству случайных стратегий H, для чего введем понятие средних потерь Lср(x, y), определяемых по формуле для математического ожидания случайной величины:

Lср (x, y) = (3.5)

Лиля, наверное, тут надо остановиться

Функция Lср (x, y) в теории игр называется функцией средних потерь или просто функцией потерь. Очевидно, что при многократном повторении партий игры с одними и теми же конкретными стратегиями x и y игроков суммарный проигрыш игрока 2 (а значит и суммарный выигрыш игрока 1) стремится к величине функции средних потерь Lср (x, y). В этом смысле последняя является характеристикой качества стратегий игроков (результат игры как бы «очищается» от влияния случайных стратегий h Є H).

В теории игр принято считать, что парная антагонистическая игра формально определена, если перечислены все возможные стратегии игроков 1 и 2, то есть заданы множества стратегий X и Y, и для любых конкретных стратегий x Є X и y Є Y определена функция потерь Lср (x, y). Таким образом, мы приходим к следующему формальному определению игры:

Игра G определяется тремя элементами X, Y, Lср, что условно можно записать в виде

G = (X, Y, Lср) (3.6)

Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий (конечные игры), удобно задавать с помощью так называемых матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно задавать одну матрицу. Пусть G – некая конечная игра с нулевой суммой, в которой игрок 1 имеет m возможных стратегий, игрок 2 – n возможных стратегий, то есть X и Y есть конечные множества.

X = {x1, x2, … xn},

Y = {y1, y2, … yn}.

Тогда матрица порядка m*n

, (3.7)

элемент которой qij = Lср (xi, yi), называется матрицей потерь. Элемент матрицы qij, очевидно, имеет смысл средних потерь игрока 2 при реализации игроками стратегии xi и yi, иначе – среднего платежа игрока 2 игроку 1, если игрок 1 предпринимает стратегию xi, а игрок 2 – стратегию yi. Отсюда другое название матрицы потерь – платежная матрица.

С использованием платежной матрицы Q конечная парная антагонистическая игра G может быть формально определена тремя элементами X, Y, Q, что условно можно записать в виде:

G = (X, Y, Q) (3.8)

где

X = {xi}, i Є 1,m – m-мерное множество возможных стратегий игрока 1;

Y = {yi}, j Є 1,n – n-мерное множество возможных стратегий игрока 2;

Q = {qij}, i Є 1,m j Є 1,n – платежная матрица размера m*n.

Билет №12

1. Критерий оптимальности. Классификация задач в зависимости от количества критериев.

Оптимальность – наилучший вариант ПР. Критерий – значимая, понятная ЛПР, хорошо им интерпретируемая характеристика исхода принятого решения. Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям.

Ситуацию мы измеряем при помощи критериев. F = зависимость от факторов = критериальная функция. Могут быть одно (монокритериальные, скалярные) и многокритериальные (критерии, которые должны быть достигнуты одновременно – поликритериальные или векторные).

2. Платежная матрица: использование ее в теории игр.

Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий (конечные игры), удобно задавать с помощью так называемых матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно задавать одну матрицу. Пусть G – некая конечная игра с нулевой суммой, в которой игрок 1 имеет m возможных стратегий, игрок 2 – n возможных стратегий, то есть X и Y есть конечные множества.

X = {x1, x2, … xn},

Y = {y1, y2, … yn}.

Тогда матрица порядка m*n

, (3.7)

элемент которой qij = Lср (xi, yi), называется матрицей потерь. Элемент матрицы qij, очевидно, имеет смысл средних потерь игрока 2 при реализации игроками стратегии xi и yi, иначе – среднего платежа игрока 2 игроку 1, если игрок 1 предпринимает стратегию xi, а игрок 2 – стратегию yi. Отсюда другое название матрицы потерь – платежная матрица.

С использованием платежной матрицы Q конечная парная антагонистическая игра G может быть формально определена тремя элементами X, Y, Q, что условно можно записать в виде:

G = (X, Y, Q) (3.8)

где

X = {xi}, i Є 1,m – m-мерное множество возможных стратегий игрока 1;

Y = {yi}, j Є 1,n – n-мерное множество возможных стратегий игрока 2;

Q = {qij}, i Є 1,m j Є 1,n – платежная матрица размера m*n.

Билет №13

1. Факторы, влияющие на критерий оптимальности.

Фактор – это то, что воздействует на ситуацию или условие.

2 вида:

1. Контролируемые – факторы, выбор которых находится в руках ЛПР.

2. Неконтролируемые – никак не повлиять:

а) детерминированные – факторы, известные ЛПР до начала операции.

б) стохастические или случайные – об этих факторах ЛПР заранее известны вероятность их появления и законы их распределения.

в) неопределенные факторы – ЛПР известна лишь область, из которой эти факторы могут появиться.

F = f (X, A, Y, Z, t) àmax/min, где A - неслучайные неконтролируемые факторы, Y - случайные неконтролируемые факторы, Z - неопределенные факторы, X - множество стратегий, t - фактор времени.

2. Теорема о существовании решения игры.

Основная теорема теории игр – теорема о существовании решения игры – гласит: любая конечная антагонистическая игра имеет решение, то есть оптимальные стратегии для обоих игроков и соответствующую цену игры. Решение конечной парной антагонистической игры лежит в области чистых или смешанных стратегий. Решение в чистых стратегиях имеет место в играх с седловой точкой. Если же игра не имеет седловой точки, то ее решение лежит в области смешанных стратегий.

Билет №14

1. Дисциплинирующие условия.

Дисциплинирующие условия - это формальное описание механизма ситуации.

2. Конкретная партия в парной антагонистической игре.

Игра может содержать, кроме личных ходов, и случайные ходы. Обозначим через H множество случайных стратегий. Любая конкретная стратегия hЄH представляет собой некоторую последовательность всех случайных ходов в некоторой конкретной партии игры. Каждая конкретная стратегия h будет происходить с некоторой вероятностью P(h), которая может быть подсчитана на основании вероятностей каждого случайного хода в этой последовательности; последние задаются правилами игры.