Билет №1 (стр. 5 )

Функция P(h) представляет собой распределение вероятностей на пространстве H и должна удовлетворять условиям:

P(h) ≥ 0, (3.1)

Обозначим через g некоторый конкретный вариант игры, то есть некоторую индивидуальную партию игры. Каждая партия игры будет определена, если выбраны стратегии игроков 1 и 2, то есть xЄX и yЄY, и стратегия случайных ходов hЄH. Следовательно, всякая конкретная партия g игры определяется тремя элементами x, y, h.

Будем условно обозначать конкретную партию игры в виде

g = (x, y, h) (3.2)

Результатом партии игры является выигрыш (или проигрыш) каждого из игроков. Этот результат не всегда имеет количественное выражение. Однако для получения количественных оценок принимаемых решений результат игры необходимо хотя бы условно, представить числом (например, выигрыш – 1, проигрыш – 0, ничья – 0,5).

Рассмотрим одну из конкретных партий игры g = (x, y, h) и обозначим через L1 (x, y, h) и L2 (x, y, h) величины проигрыша первого и второго игрока соответственно. Условимся проигрышу приписывать знак «+», а выигрышу –

«-», то есть выигрыши рассматривать как отрицательные проигрыши. Общая сумма L∑ (x, y, h) проигрышей обоих игроков в партии g = (x, y, h) равна

L∑ (x, y, h) = L1 (x, y, h) + L2 (x, y, h) (3.3)

В парной антагонистической игре общая сумма проигрышей L∑ (x, y, h) равна нулю: проигрыш одного игрока – выигрыш другого.

Билет №15

1. Общая постановка однокритериальной задачи принятия решения.

При заданных значениях фиксированных неслучайных неконтролируемых факторов A, случайных неконтролируемых факторов Y, с учетом неопределенных факторов Z и фактора времени t найти такую x штрих (такую стратегию x) из всего множества стратегий X из области допустимых значений омега, которая по возможности максимизировала или минимизировала бы значение критерия F.

2. Функция потерь в парной антагонистической игре.

Функция Lср (x, y) в теории игр называется функцией средних потерь или просто функцией потерь. Очевидно, что при многократном повторении партий игры с одними и теми же конкретными стратегиями x и y игроков суммарный проигрыш игрока 2 (а значит и суммарный выигрыш игрока 1) стремится к величине функции средних потерь Lср (x, y). В этом смысле последняя является характеристикой качества стратегий игроков (результат игры как бы «очищается» от влияния случайных стратегий h Є H).

Игра G определяется тремя элементами X, Y, Lср, что условно можно записать в виде

G = (X, Y, Lср) (3.6)

Игры, в которых каждый игрок имеет конечное число стратегий (конечные игры), удобно задавать с помощью так называемых матриц потерь. В случае игры с нулевой суммой достаточно задавать одну матрицу. Пусть G – некая конечная игра с нулевой суммой, в которой игрок 1 имеет m возможных стратегий, игрок 2 – n возможных стратегий, то есть X и Y есть конечные множества.

X = {x1, x2, … xn},

Y = {y1, y2, … yn}.

Тогда матрица порядка m*n

, (3.7)

элемент которой qij = Lср (xi, yi), называется матрицей потерь.

Билет №16

1. Классификация задач принятия решений. Классификационные признаки.

Зависит от оснований:

1. Количество целей в операции:

- одноцелевые (моноцелевые, однокритериальные);

- многоцелевые (многокритериальные).

2. Наличие или отсутствие зависимости критерия оптимальности и дисциплинирующих условий от времени:

- динамические (есть зависимость от времени);

- статические (нет зависимости от времени).

3. По признаку «определенность – риск – неопределенность»:

- детерминированные ЗПР – характеризуются однозначной детерминированной связью между принятым решением и его исходом. В этих задачах критерий и дисциплинарные условия целиком зависят от стратегии ЛПР и фиксированных неконтролируемых факторов, заранее полностью известных ЛПР. Однокритериальная статическая детерминированная ЗПР. В скобках, в формулах (X, A).

- стохастические ЗПР (ЗПР в условия риска) – каждое решение может привести к ряду исходов, которые характеризуются вероятностью их поведения. В этих задачах ЛПР заранее известны случайные факторы, вероятность их определения и законы их распределения. Однокритериальная статическая стохастическая ЗПР. В скобках, в формулах (X, A, Y).

- ЗПР в условиях неопределенности – решение зависит не только от ЛПР, но и от неопределенных факторов, из-за которых каждое решение оказывается связано со множеством исходов, вероятность которых заранее неизвестна. 2 вида: Однокритериальная статическая ЗПР в условиях неопределенности. В скобках в формуле (X, A, Z). И Однокритериальная статическая ЗПР в условиях неопределенности, вызыванной факторами стохастической природы (игры с природой). В скобках, в формулах (X, A, Y, Z).

2. Понятие максимина и минимакса. Метод их определения.

Для того чтобы определить понятие седловой точки, необходимо определиться с тем, что понимается под максимином и минимаксом платежной матрицы.

Максимином или нижней ценой игры называется элемент платежной матрицы, равный максимуму из минимумов по строкам матрицы. Если обозначить максимин через v1, то

(3.9)

Минимаксом или верхней ценой игры называется такой элемент матрицы, который равен минимуму из максимумов по столбцам матрицы. Если обозначить минимакс через v2, то

(3.10)

Очевидно, что величины максимина и минимакса связаны соотношением

v1 ≤ v2 (3.11)

Стратегия игрока 1, соответствующая максимину v1 называется максиминной стратегией. Стратегия игрока 2, соответствующая минимаксу v2, называется минимаксной стратегией. Минимаксная и максиминная стратегии образуют пару минимаксных стратегий.

Билет №17

1. Классификация задач принятия решений по количеству целей операции.

Количество целей в операции:

- одноцелевые (моноцелевые, однокритериальные);

- многоцелевые (многокритериальные).

2. Стратегии гарантированного результата. Принцип минимакса.

Стратегия игрока 1, соответствующая максимину v1 называется максиминной стратегией. Стратегия игрока 2, соответствующая минимаксу v2, называется минимаксной стратегией. Минимаксная и максиминная стратегии образуют пару минимаксных стратегий.

Если игрок 1 будет придерживаться своей максиминной стратегии, то он независимо от поведения противника гарантирует себе выигрыш не менее чем максимин v1, то есть не менее нижней цены игры. Если игрок 2 будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то он гарантирует себе, что проиграет не более чем минимакс v2, то есть не более верхней цены игры. Минимаксные стратегии часто называют стратегиями предельной осторожности или стратегиями гарантированного результата (выигрыша или проигрыша).

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий (максиминной или минимаксной), является в теории игр одним из основных и называется принципом минимакса. Он вытекает из предположения о разумности каждого игрока, стемящегося в операции достигнуть цели, противоположной цели противника.

Билет №18

1. Классификация задач принятия решений по наличию или отсутствию зависимости критерия оптимальности и дисциплинирующих условий от времени.

Наличие или отсутствие зависимости критерия оптимальности и дисциплинирующих условий от времени:

- динамические (есть зависимость от времени);

- статические (нет зависимости от времени).

2. Игры с седловой точкой.

Существуют игры, для которых максимин (элемент платежной матрицы, равный максимуму из минимумов по строкам матрицы) равен минимаксу (элемент матрицы, который равен минимуму из максимумов по столбцам матрицы), то есть v1 = v2. Соответствующий элемент платежной матрицы называется седловой точкой. Иначе, седловой точкой называется элемент, который является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце.

	y1	y2	y3	qi min
x1	1	3	10	1
x2	6	4	5	4 maxmin
x3	8	3	2	2
qj max	8	4 minimax	10

Элемент платежной матрицы, соответствующий ее седловой точке (если она существует), называется чистой ценой игры. Обозначим ее через v. Совокупность минимаксных стратегий и чистая цена игры v являются решением игры с седловой точкой или, иначе, решением игры в чистых стратегиях (стратегия, выбираемая игроком в результате сознательного акта, без привлечения какого-либо случайного механизма).