Материалы к занятиям по модулю: «Уравнения и неравенства с модулем» (стр. 2 )

Используя первый частный метод, получим равносильную систему:

Ответ:

2. Неравенства, содержащие модуль.

Так же как и в случае уравнений, содержащих модуль, для решения неравенств с модулем используется частные методы и основной метод.

Частные методы:

1.

2.

3.

4.

5.

Аналогичные частные методы справедливы и для нестрогих неравенств.

Рассмотрим примеры на применение частных методов.

Пример 2.1. Решить неравенство .

Решение. Используя первый частный метод, получим:

.

Ответ: .

Пример 2.2. Решить неравенство .

Решение. Используя второй частный метод, получим:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Решить неравенство .

Решение. Используя третий частный метод, получим:

.

.

Ответ: .

Более распространенным по сравнению с частными методами является основной метод решения неравенств с модулями. Область определения неравенства разбивается на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве «раскрываются» модули и решается полученное неравенство. Множество решений исходного неравенства получается объединением множеств решений, получаемых в каждом случае.

Таким образом, основной метод решения неравенств в основном совпадает с основным методом решения уравнений, содержащих модуль. Различие лишь в том, что в каждом случае будет получаться система неравенств, а не смежаная система, как в случае уравнений.

Пример 2.4. Решить неравенство .

Решение. Находим те значения , которые обращают в нуль выражения под знаком модуля: . Наносим эти точки на числовую ось и определим знаки выражений, стоящие под знаком модуля на каждом из полученных промежутков.

Эти точки разбивают всю числовую ось на три промежутка. Значит, необходимо рассмотреть три случая: используя определение модуля, получим:

1. 2. 3.

1. .

2. решений нет.

3. .

Ответ: .

Заметим, что все предыдущие неравенства мы можем решить с помощью основного метода. Поэтому может сложиться впечатление, что знание частных методов необязательно. Однако, это не так. Существуют неравенства, которые могут быть решены только с помощью частных методов.

Пример 2.5. Решить неравенство .

Решение. Если применять основной метод, то необходимо раскрыть модуль, а для этого необходимо решить уравнение , что невозможно сделать, применяя методы, которые изучаются в школе. Таким образом, применяя основной метод, невозможно решить это неравенство.

Применим первый частный метод, получим:

Применяя первый и второй частные методы, получим, что последняя система равносильна следующей системе:

.

Ответ: .

Таким образом, знание частных методов является обязательным. Эти методы часто используются при решение неравенств, содержащих «двойные» или «тройные» модули.

Пример 2.6. Решить неравенство .

Решение. Используя второй частный метод, получим:

Используя первый и второй частные методы, получим, что последняя совокупность равносильна следующей совокупности:

Ответ: .

3. Построение графиков функций, содержащих модуль.

Так же как при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, для построения графиков функций с модулем используются частные методы, которые относятся к методам преобразования графиков, и основной метод, связанный с раскрытием модуля.

Частные методы.

1.  Если известен график функции , то график функции получается из него следующим образом: та часть графика функции , которая лежит не ниже оси остаётся без изменения; та часть, которая лежит ниже оси симметрично отображается относительно этой оси.