Материалы к занятиям по модулю: «Уравнения и неравенства с модулем» (стр. 5 )

;

Пусть , тогда прямые содержатся во второй и четвёртой четверти, то есть, если и есть точки пересечения графиков функций и , то абсциссы этих точек пересечения отрицательны, значит, в этом случае нет корней принадлежащих отрезку и все не являются искомыми значениями параметра.

Пусть . Если , то уравнение имеет единственное решение , причём это решение принадлежит отрезку , то есть - искомое значение параметра. Если увеличивать значения , то прямая будет поворачиваться против часовой стрелки. Искомыми значениями будут те значения, при которых прямые проходят либо ниже точки , либо через точку . Значение , при котором прямая проходит через точку равно . Таким образом, все являются искомыми значениями параметра.

Если прямую провести между точками и , то один корень будет принадлежать отрезку , а другой не будет принадлежать этому отрезку, то есть такие значения не являются искомыми значениями параметра.

Если же прямую провести через точку (в этом случае и уравнение имеет вид ), то будет всего одна точка пересечения графиков функций и , то есть уравнение имеет единственное решение и это решение принадлежит отрезку . Значит, - искомое значение параметра. При уравнение имеет единственное решение и это решение не принадлежит отрезку . То есть не являются искомыми значениями параметра.

Ответ: .

Пример 4.3. При каких значениях уравнение имеет единственное решение.

Решение. При исходное уравнение имеет вид и имеет единственное решение . То есть - искомое значение параметра.

Пусть . Построим графики функций и . Пусть , получим

Графики функций пересекаются в одной точке, если или . Решаем систему

.

Пусть . Построим графики функций

Графики функций пересекаются в одной точке, если или . В этом случае получим систему:

.

Ответ: .

Пример 4.4. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет ровно три различных решения.

Решение. При получим уравнение , единственным корнем которого является . То есть не является искомым значением параметра.

Пусть . Построим графики функций и .

Видно, что графики рассматриваемых функций пересекаются в трех точках, если прямая проходит через точку , либо через точку . Подставляя координаты этих точек в уравнение , получим

, .

Ответ: .

Пример 4.5. Сколько корней в зависимости от параметра имеет уравнение .

Решение. Заметим, что при уравнение не имеет решений, так как левая часть есть сумма неотрицательных слагаемых, которые одновременно в нуль не обращаются.

При . Запишем уравнение в виде . Построим графики функций и . Определим значения параметра, для которого парабола касается правой полупрямой графика функции , то есть касается прямой .