Материалы к занятиям по модулю: «Уравнения и неравенства с модулем» (стр. 4 )

Таким образом, необходимо:

1. построить график функции и выбрать те точки этого графика, которые удовлетворяют условию ;

2. построить график функции и выбрать те точки этого графика, которые удовлетворяют условию .

Точка графика, абсцисса которой равна выбрасывается.

4.  Некоторые задачи, содержащие модуль и параметр.

Рассмотрим некоторые задачи, содержащие модуль и параметр.

Графические методы.

Графические методы решения применяются в случае когда можно построить соответствующие графики и известно, как эти графики изменяются при изменении параметра.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение. Построим график функции и . Решить уравнение означает найти абсциссы точек пересечения графиков функции.

:

1. 2.

Возможны следующие случаи:

1. 2. 3. 4. 5..

Рассмотрим каждый случай.

1.. В этом случае графики функций и не пересекаются, то есть уравнение решений не имеет. Таким образом, в этом случае можно сделать вывод: если , то решений нет.

2. . В этом случае график функции совпадает с осью , которая пересекает график функции в двух точках с абсциссами . Таки образом, если , то два корня .

3. . В этом случае график функции и график функции пересекаются в четырех точках, то есть уравнение имеет четыре корня. Найдём эти корни. Два из этих корней есть абсциссы точек пересечения графика функции и графика функции , то есть корни уравнения . Остальные два коня это абсциссы точек пересечения графиков функций и , то есть это решения уравнения . Таким образом, для нахождения решений получаем совокупность:

(1)

, (2)

Таким образом, если , то исходное уравнение имеет четыре решения , .

4. . В этом случае график функции пересекает график функции в трёх точках, то есть уравнение имеет три корня, которые можно получить как решения совокупности (1) при . Подставляя в формулы (2) , получим , . Таким образом, если , то уравнение имеет три корня: , .

5. . В этом случае графики функций и пересекаются в двух точках, то есть уравнение имеет два различных решения, которые можно найти как корни уравнения , т. е. . Таким образом, если , то уравнение имеет два корня .

Ответ: если , то решений нет; если , то два корня ; если , то , ; если , то , ; если , то .

Пример 4.2. При каких значениях все корни уравнения принадлежат отрезку .

Решение. Изобразим графики функций и . Требуется найти такие значения , при которых абсциссы всех точек пересечения графиков функций и принадлежат отрезку .

Графики функций - это прямые, проходящие через начало координат , имеющие угловой коэффициент . Изменяя , мы будем поворачивать прямые вокруг начала координат.