Материалы к занятиям по модулю: «Уравнения и неравенства с модулем» (стр. 1 )

Материалы к занятиям по модулю:

«Уравнения и неравенства с модулем».

По определению модуля:

1.Уравнения, содержащие модуль.

Для решения уравнений, содержащих модуль, существуют частные методы и основной метод.

Частные методы:

1.

2. проверка.

3.

4. , проверка.

5. .

Рассмотрим несколько примеров на применение частных методов.

Пример 1.1. Решить уравнение .

Решение. Согласно первому частному методу получим

Ответ: -2, .

Пример 1.2. Решить уравнение .

Решение. По пятому частному методу получим:

,

х=0, х=2, х=3.

Ответ: 0; 2; 3.

По частным методам можно решать лишь уравнения вида или . Более общим является основной метод, который состоит в следующем: область определения уравнения разбивается на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Множество решений исходного уравнения составляется из решений, найденных на всех частях области определений.

Пример 1.3. Решить уравнение .

Решение. Найдём значения х, которые обращают выражения под знаком модуля в нуль: , . Нанесём эти точки на числовую ось. Эти точки разбивают всю числовую ось на три промежутка. Значит, необходимо рассмотреть три случая. Для удобства выше числовой оси изобразим знаки х, а ниже оси - знаки (х+1):

Используя определение модуля, получим.

1. 2. 3.

При этом точки и должны быть рассмотрены в каком-то случае (в нашем случае эти точки рассмотрены во втором случае).

1. решений нет.

2. решений нет.

3. решений нет.

Ответ: решений нет.

Пример 1.4. Решить уравнение .

Решение. Найдем значения х, которые обращают выражения под знаком модуля в нуль.

;

.

Изобразим знаки квадратных трехчленов на разных осях:

Точки разбивают всю числовую ось на пять промежутков, то есть необходимо рассмотреть ять случаев. Однако в некоторых из этих случаев будут получаться одинаковые уравнения, поэтому эти случаи можно объединить.

Используя определение модуля, получим:

1. 2.

3.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. решений нет.

2. .

3. решений нет.

Ответ: .

Может сложиться впечатление, что знание частных методов не обязательно. Это не так. Существуют такие уравнения, которые не могут быть решены с помощью основного метода. Они решаются только по одному из частных методов. Таким образом, частные методы не являются частными случаями общего метода и их естественно было бы назвать дополнительными методами.

Пример 1.5. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение невозможно решать по общему методу с помощью раскрытия модуля, так как невозможно решить уравнение . Используя второй частный метод, получим, что из исходного уравнения следует совокупность

Проверкой убеждаемся, что решениями исходного уравнения являются числа 0; 1; 2.

Ответ: 0; 1; 2.

Таким образом, знание частных методов является обязательным. Кроме того, знание частных методов позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль под знаком модуля.

Пример 1.6. Решить уравнение .

Решение. Используя пятый частный метод, получим:

.