Материалы к занятиям по модулю: «Уравнения и неравенства с модулем» (стр. 6 )

В случае касания получим, что уравнение имеет единственное решение.

, , .

Теперь можно сформулировать ответ.

Ответ: если , то два коня; если , то три корня; если , то четыре корня; если , то один корень; если , то корней нет.

Пример 4.6. При каких значениях уравнение имеет более трех корней.

Решение. Построим графики функций и .

, , ;

, , .

Графики рассматриваемых функций пересекаются более чем в трёх точках, если .

Ответ: .

Пример 4.7. При всех значениях решить неравенство .

Решение. Построим графики функций и .

Возможны несколько случаев взаимного расположения указанных графиков.

При . При таких значениях ни одна из точек графика функции не может лежать ниже прямой . Следовательно, в этом случае неравенство не имеет решений.

Пусть . В этом случае ниже прямой лежат те точки графика , абсциссы которых удовлетворяют условию , где - соответственно меньший и больший корень уравнения , , а - меньший и больший корень уравнения , . То есть при .

При . В этом случае решением будет множество , где - меньший и больший корень уравнения , то есть в этом случае .

При . В этом случае решением является множество , где - меньший и больший корень уравнения , то есть .

Ответ: если , то ; если , то ; если , то ; если , то решений нет.

Пример 4.8. При всех значениях решить неравенство .

Решение. Построим графики функций и .

При неравенство выполняется в одной точке .

При график функции всегда расположен выше прямой . Поэтому, при данных значениях параметра неравенство решений не имеет.

При не выше прямой располагаются точки графика функции , у которых абсциссы больше или равны , где определяется из уравнения , т. е. . Значит, в этом случае неравенство выполняется при всех .

При не выше прямой находятся точки графика функции , у которых абсцисса не превосходит , где , то есть решениями неравенства являются все .

При не выше прямой расположены все точки графика функции , у которых абсцисса принадлежит отрезку , где - это корень уравнения , а корень уравнения . Значит, в этом случае неравенство выполняется при всех .

Ответ: при ; при ; при ; при ; при .

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Решите неравенства.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Постройте графики функций.

1. .

2. .

3. .