Элементы теории поля (стр. 2 )

Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных . Их можно рассматривать как производные от функции в направлении координатных осей. Если вектор совпадает с положительным направлением оси Ох, то в формуле (4) следует положить тогда. Аналогично получаем, что производная по направлению оси Оу совпадает с , в направлении оси Oz − cовпадает с частной производной .

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Решение. Вектор − единичный, так как , поэтому

Вычислим частные производные функции в точке .

По формуле (4) получим

Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении вектора , где – точка с координатами (3,0).

Решение. Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

Отсюда

Вычислим частные производные функции в точке :

По формуле (5) получим

Градиент скалярного поля

Градиент (от лат. Gradiens − шагающий) − характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать направление «в гору».

Градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует, − функцией скалярной.

Используется понятие градиента различных физических полей, например, градиент концентрации − нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры − увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д.

Градиентом от функции в точке называется вектор, обозначаемый и определяемый формулой:

. (6)

Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента, которые вытекают из свойств операции дифференцирования:

(7)

.

Связь градиента и производной по направлению.

Физический смысл градиента

Используя формулы (4), (6), представим производную функции в точкепо направлению в виде скалярного произведения градиента функции на единичный вектор :

(8)

.

Производная функции по направлению равна проекции вектора градиента функции на это направление.

Так как вектор − единичный, и , используя определение скалярного произведения формулу (8), преобразуем к виду:

. (9)

Здесь − угол между векторами и .

Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при , т. е. в направлении градиента функции. Отсюда вытекает физический смысл градиента функции. Величина максимальной скорости возрастания функции в данной точке равна

модулю градиента и определяется формулой:

. (10)

Пример 3. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции есть модуль ее градиента. По формуле (4) имеем:

Найдем значение градиента функции в точке М:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

.

Геометрический смысл градиента

Рассмотрим семейство линий уровня плоского скалярного поля (2).

Градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку, т. е. направлен по нормали к линии уровня.

В самом деле, дифференцируя равенство (2), получаем в точках линии уровня , тогда из формулы (9) следует, что .

Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности точки, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

В случае пространственного поля градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции.

Оператор Гамильтона

Дифференциальные операции удобно представлять с помощью оператора Гамильтона или оператора «набла»:

. (11)

Оператор будем рассматривать как символический вектор с координатами , а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры.

Если − скалярная функция, то действие оператора на эту функцию дает ее градиент:

.

Векторное поле