Элементы теории поля (стр. 5 )

Отметим важное свойство потенциального поля. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю. Это вытекает из формулы Стокса.

Вычисление потенциала векторного поля

Если мы убедились, что поле является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле:, где точки M и N − начальная и конечная точки кривой.

Поскольку , то скалярное произведение векторов

является полным дифференциалом функции .

Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что

.

Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из точки M в точку N не зависит от пути интегрирования, а только от разности потенциалов в конечной и начальной точках. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке M выберем начальную точку N , от которой начнем отсчет. Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая M=M(x,y,z) и , получим:

(24)

Здесь .

Так как выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Пример 10. Выяснить, является ли потенциальным векторное поле и найти, если возможно, его потенциал.

Решение. Найдем ротор векторного поля:

Так как ротор векторного поля равен нулю, поле является потенциальным. Найдем потенциал векторного поля по формуле (24), выбрав в качестве начальной точки начало координат, положив

Замечание об определении векторных полей

Во многих технических проблемах часто встречаются задачи об определении векторного поля по заданному ротору и дивергенции этого поля. В курсе математической физики доказана теорема:

Векторное поле однозначно определено внутри некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью, если заданы ротор и дивергенция поля внутри области, а на ее границе задана нормальная составляющая вектора вихревой части.

В соответствии с этой теоремой любое векторное поле может быть представлено в виде суммы вихревой и потенциальных частей.

Гармоническое поле

Векторное поле называется гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным.

Для гармонического векторного поля, согласно определению, выполняется , .

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного потенциального потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией. В самом деле, так как гармоническое поле является и потенциальным, существует его потенциал , допускающий представление . Так как поле одновременно и соленоидальное, то .

Последнее равенство можно переписать, используя оператор Лапласа

Потенциал гармонического поля является гармонической функцией.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .

2. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,

3. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям .

4. Построить линии уровня плоского скалярного поля, определяемого функцией , соответствующие значениям ,

5. Найти поверхности уровня потенциала электростатического поля точечного заряда, где е – величина заряда, r – расстояние от точки М до точки, где находится электрический заряд.

6. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке в направлении биссектрисы первого координатного угла.

Ответ: 15.

7. Найти производную скалярного поля, заданного функцией в точке по направлению вектора .

Ответ: 0.

8. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точках .

Ответ: −1; 0.

9. Найти производную скалярного поля, заданного функцией по направлению вектора в точке , если координаты точки .

Ответ: 4.

10. Найти градиент скалярного поля в точке .

Ответ: (1;1;2).

11. Найти направление, в котором скалярное поле в точке имеет наибольший рост.

Ответ: (-5; 1; 3).

12. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .

Ответ: 5.

13. Найти направление и наибольшую скорость возрастания скалярного поля, заданного функцией , в точке .