РОСЖЕЛДОР
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(РГУПС)
, ,
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Учебно-методическое пособие
Ростов-на-Дону
2008
УДК 512.2
Суворова, Т. В.
Элементы теории поля: учебно-методическое пособие / ; , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2008. ─ 28 с. Библиогр. : 10 назв.
Приведены сведения о скалярных и векторных полях и их основных характеристиках: производной по направлению, градиенте, потоке, циркуляции. Даны понятия о соленоидальных и потенциальных полях. Приведены задания для самостоятельной работы. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов второго курса технических специальностей РГУПС.
Рецензент д-р техн. наук, проф. (РГУПС)
Учебное издание
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Учебно-методическое пособие
Редактор
Техническое редактирование и корректура
Подписано в печать 03.06.2008. Формат 60х84/16
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,63
Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 100 экз. Изд. № 96. Заказ №
Ростовский государственный университет сообщения.
Ризография РГУПС.
Адрес университета; 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного ополчения, 2
© Ростовский государственный университет путей сообщения, 2008
Связь градиента и производной по направлению. Физический смысл градиента
Геометрический смысл градиента
Ротор векторного поля. Формула Стокса
Вычисление потенциала векторного поля
Задачи для самостоятельного решения
К изучению свойств полей приводят многие задачи физики, электротехники, теплообмена, математики, механики, теории фильтрации, гидродинамики и многих других технических дисциплин. Математика изучает общие свойства и характеристики, присущие полям разного происхождения.
В пространстве задано поле некоторой величины 
, если в каждой точке пространства (или его части) определено значение этой величины. Например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле, поле давлений, поле скоростей. Это скалярные и векторные поля.
Поле величины называется стационарным или установившимся, если не зависит от времени. В противном случае поле называется нестационарным или неустановившимся.
Для простоты далее будем рассматривать стационарные поля.
Пусть 
− некоторая область плоскости или пространства. Если в каждой точке 
определена скалярная величина , то говорят, что в области 
задано скалярное поле.
Обычно поле задается с помощью функции нескольких переменных 
, называемой скалярной функцией. В пространстве с декартовыми координатами 
.
Примером скалярного поля может служить поле температур объекта, поле электрического потенциала.
Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей и линий уровня
Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение:
. (1)
Например, для скалярного поля, образованного функцией трех переменных
, поверхности уровня представляют собой множество концентрических сфер с центром в начале координат:
.
Возводя в квадрат обе части равенства, имеем: 
.
В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение
.(2)
На рис. 1 изображены линии уровня поверхности 
и их проекции на плоскость 
.
Рис. 1. Линии уровня поверхности и их проекции
на горизонтальную плоскость
Термин «линии уровня» заимствован из картографии, где линии уровня – это линии, на которых высота точек земной поверхности над уровнем моря постоянна. По ним можно судить о характере рельефа местности. Если взять в уравнении (2) постоянные величины, образующие арифметическую прогрессию, то получим ряд линий уровня, по которым можно судить о форме поверхности (рис. 1).
Для характеристики скорости изменения поля в точке 
в заданном направлении 
вводится понятие производной по направлению.
Пусть 
− единичный вектор, имеющий начало в точке 
. Проведем через точку прямую, совпадающую с вектором , и в направлении вектора возьмем на прямой точку 
. Приращение функции 
, возникающее при переходе от точки к точке , определяется как
.
Тогда 
.
Производной по направлению от функции в точке по направлению 
называется предел
. (3)
Производная по направлению характеризует изменение поля в точке в данном направлении. Если производная положительна, то поле в заданном направлении возрастает, если производная отрицательна − поле в заданном направлении убывает.
Физический смысл производной по направлению в том, что она равна мгновенной скорости изменения поля в точке по направлению 
.
Полагая, что функция дифференцируема в точке , из формулы (3) и условия дифференцируемости функции получим формулу для вычисления производной по направлению:
. (4)
В случае плоского поля 
и формула (4) принимает вид:
. (5)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
