Элементы теории поля (стр. 4 )

Используя формулу (19) и теорему о среднем, несложно показать, что в каждой точке М выполняется равенство:

. (20)

На основании формулы (20) можно дать другое определение дивергенции, эквивалентное данному ранее.

Дивергенция векторного поля в точке М является пределом отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку М, к объему области, ограниченной этой поверхностью.

Так как поток и объем не зависят от выбора системы координат, то и дивергенция также не зависит от выбора системы координат.

Выясним с помощью формулы (20) физический смысл дивергенции.

Исходя из физического смысла потока, можно сказать, что при точка М представляет собой источник, а при точка М представляет собой сток. Таким образом, дивергенция характеризует мощность или плотность источника или стока в точке. Если в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, нет источников и стоков, то .

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, называется соленоидальным или трубчатым.

Пример 7. Найти дивергенцию поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.

Решение. Данное поле определено вектором (см. пример 4). По формуле (17) имеем:

Данное поле является соленоидальным или трубчатым.

Циркуляция векторного поля

Пусть в декартовой системе координат в некоторой области задано векторное поле:

,

кривая L − кусочно-гладкая, расположенная в этой области.

Пусть − радиус-вектор точки М на контуре L .

Известно, что вектор направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода, причем , где ‑ дифференциал дуги кривой,

.

Циркуляцией векторного поля вдоль кривой L называется криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов :

. (21)

В силовом поле циркуляция имеет простой физический смысл, она выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L.

Пример 8. Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Решение. Данное поле определено вектором (см. пример 4). По формуле (21) имеем:

,

где − площадь поверхности, ограниченной кривой L.

Ротор векторного поля. Формула Стокса

Ротором векторного поля называется вектор , определяемый равенством:

. (22)

Формула (22) может быть переписана в другом виде:

. (23)

Определение ротора векторного поля с помощью оператора «набла» записывается более компактно:

.

Ротор векторного поля не зависит от выбора системы координат.

С помощью понятий циркуляции и ротора запишем формулу Стокса:

Более компактно эта формула запишется в векторной форме, а также с использованием оператора «набла»:

;

Таким образом, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S , ограниченную контуром L.

Пример 9. Вычислить ротор поля скоростей твердого тела,. вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.

Данное поле определено вектором (см. пример 4). Используя определение ротора, получаем:

Ротор данного векторного поля направлен по оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости.

Соленоидальное поле

Соленоидальным или трубчатым называется векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю .

Примерами соленоидальных полей являются поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 4), магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток.

Приведем некоторые свойства соленоидальных полей.

§  В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство вытекает из формулы Гаусса-Остроградского. Поэтому соленоидальное поле не имеет источников и стоков.

§  Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля. Если , то существует такое поле , что . Вектор называется векторным потенциалом поля .

§  В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение.

Потенциальное поле

Векторное поле   называется потенциальным, если существует такая функция , что . Скалярное поле называется потенциалом векторного поля  . Примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого , где − потенциал электрического поля.

Определение потенциального поля можно дать и по-другому. Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля его ротор равен нулю: .

В самом деле. Пусть задано скалярное поле , которое является потенциалом векторного поля  , причем функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим

. То есть, если поле потенциальное, то его  ротор равен нулю: . Потенциальное поле называется еще и безвихревым, градиентным.