Элементы теории поля (стр. 3 )

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле.

Примерами векторных полей могут служить поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности, поле сил тяготения.

В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде:

. (12)

Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, в этом случае .

Пример 4. Найти векторное поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Оz.

Решение. Скорость точки равна векторному произведению − радиус-вектор точки вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку за начало координат.

Тогда

Геометрической характеристикой векторных полей являются векторные линии (линии тока), позволяющие наглядно представить векторные поля.

Векторные линии − кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Для конкретных полей это понятие имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока), для магнитного поля векторными линиями будут силовые линии, проходящие из северного полюса в южный. Через каждую точку проходит одна линия тока. В декартовых координатах дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид:

. (13)

Пример 5. Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.

Данное поле определено вектором (см. предыдущий пример). По формуле (13) имеем:

, отсюда

Интегрируя, получим:

Векторными линиями поля скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz, являются окружности с центрами на этой оси. Они лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Поток векторного поля

Пусть задано векторное поле формулой (12). Для наглядности будем считать его полем скоростей потока жидкости. Рассмотрим ориентированную поверхность S с нормалью , находящуюся в потоке и пропускающую жидкость. Выясним, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Разобьем поверхность S на элементарные площадки , выберем на каждой точку − нормаль к площадке в этой точке. Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор − постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму

.

Точное значение получим предельным переходом суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их диаметров:

.

Независимо от физического смысла вектора полученный интеграл называется потоком векторного поля.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по площади поверхности:

. (14)

Выражая скалярное произведение через координаты векторов, получаем другую форму записи:

. (15)

Используя связь поверхностных интегралов первого и второго рода, поток векторного поля можно записать в координатной форме:

. (16)

Отметим, что поток векторного поля есть величина скалярная. Его величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока поля.

Рис. 2

Особый интерес вызывает случай замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. В этом случае внешнюю нормаль к поверхности S берут за положительное направление нормали и говорят о потоке изнутри поверхности. Величина потока дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени. При этом, если значение потока положительно, , то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает, т. е. внутри области имеются дополнительные источники. Если значение потока отрицательно, , то внутри области V имеются стоки, поглощающее жидкость. При в области отсутствуют источники, либо они компенсированы стоками.

Пример 6. Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса с вершиной в начале координат. Высота конуса Н , радиус основания конуса R.

Решение. В соответствии с формулой (14) найдем поток:

Поток радиус-вектора точек боковой поверхности конуса равен нулю, так как и подынтегральная функция обращается в ноль:

.

Вычислим поток поля через основание

конуса. Подынтегральная функция в этом случае есть проекция радиус-вектора на нормаль, т. е. высота конуса:

Окончательно получим:

Дивергенция векторного поля

Важной характеристикой векторного поля является дивергенция (или расходимость), характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией векторного поля в точке М называется скалярная величина:

. (17)

(Обратите внимание, насколько компактнее запись с помощью оператора набла ).

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в математическом анализе формулу Остроградского-Гаусса:

. (18)

Рассматривая трехмерную область V , ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле , можно утверждать, что левая часть формулы (18) представляет собой поток вектора через поверхность S, а правая − его дивергенцию. Поэтому формулу (18) запишем в векторном виде:

. (19)

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.