Краткие лекции по технической механике (стр. 2 )

,

Откуда реакция :

 .

Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX

,

Откуда реакция :

 .  

Определение момента силы

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно другого объекта.

Размерность - [Н⋅м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН⋅м]

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определяется как произведение силы на плечо:

M(F)=F⋅h

Здесь h - плечо момента, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента на примере:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F. Требуется определить момент создаваемый силой F относительно точки A.

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Момент силы относительно точки

   Моментом силы относительно точки O  называется результат векторного произведения радиуса-вектора, проведенного из точки O  в точку приложения силы, на вектор силы:

 Mo(F)= r⊗ F.

   Вектор Mo(F) (рис.5) перпендикулярен плоскости, в которой лежат радиус-вектор  r и вектор силы F , и направлен так, что если смотреть навстречу ему, видно силу, стремящуюся повернуть плоскость, в которой она лежит, против хода часовой стрелки.

   Численно момент силы равен

 Mo= r⋅ F sinα; r⋅ sinα = h;  Mo= Fh.

   На рис.5 видно, что если силу перенести вдоль линии действия в другую точку, то величина и знак момента не изменятся:

 Mo= r⋅ F sinα = r1⋅ F1 sinα1 = Fh = F1h.

Рис.5

   Можно также сказать, что численно момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника (OAB), основанием которого является сила, а высотой – плечо h  (рис.6):

 S∆OAB= 1/2 Fh ; Mo(F) = Fh = 2S∆OAB .  

Рис.6

Теорема Вариньона

   В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности в расчете плеча силы. 

Решение вопроса упрощает теорема Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

Рис.7

   Например, момент силы F  относительно точки  O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил Fx  и  Fy (на которые можно разложить силу F ) относительно той же точки O  (рис.7). То есть

 Mo(F)= - Fh = - Fx y+ Fy x, 

где  Fx , Fy ,  x и y  – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r .

Момент силы относительно оси

   Момент силы относительно оси, например  Oz (рис.8), равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси (F' ) относительно точки пересечения оси с плоскостью, т. е.

 Mz(F) = Mo(F') = F' h'. 

   Момент считается положительным, если мы смотрим навстречу оси и видим проекцию силы, стремящуюся повернуть плоскость чертежа в направлении против хода часовой стрелки.

   Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось, т. е. h=0  (например Mz(P)), или сила параллельна оси, т. е. ее проекция на плоскость равна нулю, например, Mz(Q) . Момент силы относительно оси – скалярная величина. 

Рис.8

   

Пара сил

   Парой сил называется система двух равных по величине, противоположных по направлению и не лежащих на одной прямой сил (рис.9). 

Рис.9

   Пара сил не имеет равнодействующей, т. е. не может быть заменена одной силой. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю, т. к. их проекции всегда равны и противоположны по знаку (рис.10). 

Рис.10

   Пара сил оказывает вращающее действие, которое может быть оценено моментом пары:

M(F1,F2) = F1h = F2h , 

где h  – плечо пары.

   Момент пары считается положительным, если силы пары стремятся повернуть плоскость, в которой они расположены, по ходу часовой стрелки, отрицательным – против часовой стрелки.

   Момент пары сил может быть определен как векторная величина:

 M(F1,F2) = AB⊗F2 = BA⊗F1, 

т. е. вектор M(F1,F2 )  всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположена пара сил, и его направление определяется правилом векторного произведения (рис.11). 

    В разделе «Статика» доказывается теорема о том, что сумма моментов сил пары относительно произвольной точки пространства равна моменту этой пары. Следовательно, вектор-момент пары сил может быть приложен (или перенесен) к любой точке твердого тела, на которое действует пара сил. 

Рис.11

   Поскольку действие пары сил оценивается величиной и направлением вращающего момента, то на плоскости пару сил изображают в любом месте твердого тела, задавая величину и направление вращающего действия (см. на рис.12 изображение пар сил M1 и M2 ).

Рис.12

Распределенные нагрузки

   Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

   Размерность для линейной нагрузки - Н/м, для нагрузки распределенной по площади - Н/м2, для объемной (например при учете собственного веса элементов конструкции) - Н/м3.

 Равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q , измеряемая в Н/м приведена на рис.13. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой

Q = q⋅ AB  [Н],

приложенной в середине отрезка AB . На рис.13, б показана равномерно убывающая (возрастающая) нагрузка, которая может быть заменена равнодействующей силой

Q = 1/2 qmax⋅ AB,

приложенной в точке C , причем AC = 2/3 AB . 

   В произвольном случае, зная функцию q(x)  (рис.13, в), рассчитываем эквивалентную силу

   Эта сила приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки  AB линией q(x).