Краткие лекции по технической механике (стр. 5 )

.

Пример 2. Определить опорные реакции балки (рис. a), концы которой шарнирно закреплены. Балка нагружена парой сил с моментом  кНм.

Решение. Наметим направление реакций опор (рис. б). Так как к балке приложена пара сил, то и уравновесить ее можно только парой сил. Следовательно, реакции опор равны между собой по величине, параллельны, но противоположно направлены. Заменим действие опор их реакциями. Правая опора А - плоскость, следовательно, направление опорной реакции RA перпендикулярно этой плоскости, а опорная реакция RB ей параллельна и противоположно направлена. Балка находится в равновесии, поэтому сумма моментов пар сил, приложенных к ней, равна нулю:

,

откуда

 кН.

Ответ:  кН.

Пример 3. Брус АВ с левой шарнирно-подвижной опорой и правой шарнирно-неподвижной нагружен тремя парами, моменты которых  кНм,  кНм,  кНм. Определить реакции опор.

Решение. 1. На брус действуют пары сил, следовательно, и уравновесить их можно только парой, т. е. в точках А и В со стороны опор на брус должны действовать реакции опор, образующие пару сил. В точке А у бруса шарнирно-подвижная опора, значит, реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. е. в данном случае перпендикулярно брусу. Обозначим эту реакцию RA и направим ее вверх. Тогда в точке В со стороны шарнирно-неподвижной опоры действует также вертикальная сила RB, но вниз.

2. Исходя из выбранного направления сил пары (RA, RB) ее момент  (или ).

3. Составим уравнение равновесия пар сил:

.

Подставив в это уравнение значения моментов, получим

.

Отсюда RA = 5 кН. Так как силы RA и RB образуют пару, то RB =RA = 5 кН.

Ответ:  кН.

Пример 4. Однородный стержень AB  весом Q = 20 Н в точке A закреплен шарнирно, а в точке C свободно опирается на опору C. На стержень AB действует пара с моментом M = 5 Нм, а к концу стержня B привязана веревка, перекинутая через блок  D, на конце которой висит груз весом P = 5√2 Н. 

Определить реакции шарнира A и опоры  C, если AC = 2BC = 40 см, ∠ABL = 45o. 

Решение. Реакция Rc  опоры  C направлена перпендикулярно к стержню  AB. Направление реакции RA  шарнира A  неизвестно; поэтому раскладываем эту реакцию на две составляющие xA  и yA, направленные по осям координат, причем ось Ax направлена вдоль стержня AB, а ось  Ay перпендикулярна к нему. 

Реакция веревки BD  приложена к стержню в точке B  и направлена вдоль веревки. Так как натяжение веревки BLK  во всех ее точках одинаково, то реакция веревки T  равна по величине весу груза P, т. е. T = P.

Составим три уравнения равновесия, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на координатные оси и сумму моментов этих сил относительно начала координат:

 ΣFkx = 0,  xA - Tcos45 = 0,

 ΣFky = 0,  yA + Rc - Q - Tcos45 = 0,

 ΣMA(Fk) = 0,  Rc⋅ AC - Q⋅ AE - T⋅ ABcos45 - M = 0.

Из первого уравнения находим

 xA = Tcos45 = P√2/2 = 5 Н.

Из третьего уравнения, в котором

 AC = 40 см,  AB = AC + CB = 60 см,  AE = AB/2 = 30см,

находим

 Rc = (60⋅T⋅cos45 + 30⋅Q + M)/40 = (3/4)√2P + (3/4)Q + M/40 = 35 Н.

Подставив значение   во второе уравнение, получим

 yA = - Rc + Q + Pcos45 = Q + P√2/2 - (3/4)√2P - (3/4)Q - M/40 = - 10 Н

Пример 5. На вал ворота 1 намотана веревка, удерживающая груз Q . Радиус колеса 2 ворота в четыре раза больше радиуса вала. 

Веревка, прикрепленная к ободу колеса и натягиваемая грузом силой F = 80 Н, сходит с колеса в точке K  по касательной; радиус DK  колеса образует с вертикалью угол

 α = 60o. 

Определить величину груза  Q, при котором ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников A  и  B, если общий вес вала и колеса  G = 600 Н и приложен в точке  C (AC =0,4 м).

Решение. Три нагрузки – вес G  и грузы Q  и  F, приложенные к вороту, уравновешиваются реакциями подшипников  A и  B. 

Нагрузки действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, и, следовательно, не смещают вал вдоль оси, поэтому реакции подшипников расположатся в плоскостях, перпендикулярных к этой же оси. Заменим их составляющими  RAx,  RAy,  RBx  и  RBy. Следует учесть, что обычный подшипник не создает реакции, направленной вдоль оси вала. Если на вал действуют нагрузки, смещающие вал вдоль оси, то один из подшипников должен быть заменен подпятником.

На рисунке а, б, в изображен ворот со всеми действующими на него силами в трех проекциях. Составим уравнения равновесия:

 ΣFkx = 0;  Fcosα + RAx + RBx = 0;

 ΣFky = 0;  - Fsinα + RAy - G - Q + RBy = 0;

 ΣMx(Fk) = 0;  Fsinα⋅ AD - G⋅AC - Q⋅AE + RBy⋅AB = 0;

 ΣMy(Fk) = 0;  Fcosα⋅AD - RBx⋅AB = 0;

 ΣMz(Fk) = 0;  F - 4r - Q⋅r = 0.

Решив уравнения, получим

 Q = (F⋅4⋅r)/r = 80⋅ 4 = 320 Н,

 RBx = (Fcosα⋅ AD)/AB = (80cos60o⋅ 0,4)/1,4 ≈ 11,4 Н,

 RBy = (- Fcosα⋅AD + G⋅ AC + Q⋅AE)/AB =