Краткие лекции по технической механике (стр. 7 )

 ΣFkx = 0,   - Fтр + Gsinα = 0;

ΣFky = 0,   N - Gcosα = 0;

 ΣMA(Fk) = 0,  - G⋅r⋅sinα + Mc max = 0.

Учитывая, что Mcmax = Nδ, из второго уравнения получим

 Mcmax = Nδ = δGcosα.

Тогда третье уравнение примет вид

 G⋅r⋅sinα +δGcosα = 0,

откуда

 tgα = δ/r = 0,05/5 = 0,01, =>  α = arctg0,01 = 0o35'.

Из первого уравнения имеем

 Fтр = Gsinα = G⋅tgα⋅cosα = 0,01Gcosα,

в то время как максимальная сила трения скольжения

 Fтрmax = fN = fGcosα = 0,08⋅Gcosα.

Отсюда видно, что условие Fтр ≤ Fтрmaxсоблюдается, а поэтому цилиндр начнет катиться по наклонной плоскости без скольжения.

Центр тяжести

Сложение параллельных сил. Центр параллельных сил.

Пусть даны две параллельные силы  и , направленные в одну сторону и приложенные к точкам  и  (рис.29).

Рис.29

Конечно, величина их равнодейст­вующей . Вектор её параллелен силам и направлен в ту же сторону. С помощью теоремы Вариньона най­дём точку приложения равнодействую­щей – точку С. По этой теореме  

Значит 

Отсюда  То есть точка приложения равнодействующей делит расстояние между точками  и  на части обратно пропорцио­нальные силам.

Если параллельные силы направ­лены в противоположные стороны (рис.30), то аналогично можно дока­зать, что равнодействующая по вели­чине будет равна разности сил:  (если ), параллельна им, направлена в сторону большей силы и расположена за большей силой – в точкеС. А расстояния от точки С до точек приложения сил обратно пропорциональны силам: 

Рис.30

Следует заметить, что если точка приложения равнодействующей располо­жена на одной прямой с точками  и , точками приложения сил, то, при повороте этих сил в одну сторону на одинаковый угол, рав­нодействующая также повернётся вокруг точки приложе­ния С в том же направлении, и останется параллельной им.

Такая точка приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.

Конечно, если хотя бы одну из сил перенести по своей линии дей­ствия в другую точку, то и точка приложения равнодействующей, центр параллельных сил, тоже переместится по линии действия.

Следовательно, положение центра параллельных сил зависит от координат точек приложения сил.

Центром нескольких параллельных сил, найденный последовательным сложением каждых двух сил, будем называть точку С, радиус-вектор которой определяется формулой

, (1) 

где  - радиусы-векторы точек приложения сил; – вели­чина равнодействующей параллельных сил, равная алгебраической сумме этих сил (знак силы определяется направлением, которое заранее выбирается и считается положительным).

Используя (1), нетрудно найти координаты центра параллельных сил. Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, то проек­ции радиусов-векторов точек на оси будут равны их координатам. По­этому, проектируя векторное равенство (1) на оси, получим

 

где  – координаты точек приложения сил.

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой.

а) общий случай

 - интенсивность распределенной силы [Н/м],

 - элементарная сила.

 – длина отрезка

Распределенная по отрезку прямой сила интенсивности  эквивалентна сосредоточенной силе . 

Сосредоточенная сила прикладывается в точке С  (центре параллельных сил) с координатой

б) постоянная интенсивность

в) интенсивность, меняющаяся по линейному закону

.

Центр тяжести тел.

На все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, дей­ствуют силы – силы тяжести этих точек или их вес . Вообще эти силы будут сходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но, если пренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.

Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек, называется цен­тром тяжести тела.

Значит находить центр тяжести тел можно как центр параллельных сил. Например, координаты его

 (2)

где  – вес каждой точки тела, а – вес всего тела.

Рис.31

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоско­сти.

 2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

1.  Если тело разделить на части, то каждая часть будет иметь свои координаты.

 – как координаты её центра тяжести.

2. Если тело однородное, то вес отдельной части его , где - удельный вес материала, из которого сделано тело, а  - объём этой части тела. И формулы (1) примут более удобный вид. Например,