Краткие лекции по технической механике (стр. 6 )

                      = (- 80cos60o⋅ 0,4 + 600⋅ 0,4 + 300⋅ 0,9)/1,4 ≈ 357 Н,

 RAy = Fsinα + G + Q - RBy = 80sin60o + 600 + 320 - 357 = 632 Н,

 RAx = - Fcosα - RBx = - 80cos60o - 11,4 = - 51,4 Н.

Понятие о трении

   При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции R, которая имеет две составляющие – нормальную N и силу трения Fmp (рис.26). 

   В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями, при этом различают трение при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

Рис.26

   При покое сила трения зависит только от активных сил и может быть определена (рис.26):

 Fmp=∑Fiτ.

   В результате экспериментов были установлены законы для сухого трения:

   1) сила трения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Величина силы трения зависит от активных сил и заключена между нулем и своим максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

 0 ≤ Fmp≤ Fmpmax;

   2) максимальное значение силы трения при прочих равных условиях не зависит от площади контакта трущихся поверхностей и пропорционально нормальной реакции:

 Fmpmax= fN  [Н],

где f – коэффициент трения, являющийся безразмерной величиной и зависящий от материала и физического состояния трущихся поверхностей.

   Если твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия (сила трения достигает своего максимального значения), то полная реакция шероховатой поверхности   отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол φ, который называют углом трения (рис.27). При этом

 Tgφ =Fmpmax/N = f N / N = f.

   То есть тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Рис.27

   Конусом трения называют конус, описанный линией действия полной реакции, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции.

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

   Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

   Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадки AB, появляется распределенная система сил реакций, которая, согласно основной теореме статики, может быть заменена силой и парой (рис.28). Сила раскладывается на две составляющие – нормальную N и силу трения Fmp; пара сил называется моментом сопротивления качению MC.

Рис.28

   При равновесии тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством

 MC max = δN [Нм],

где δ – коэффициент трения качения, измеряемый в метрах и зависящий от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

Пример 1. Тело A  массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок  B (рис. а). 

Какой груз F  можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела  A? Коэффициент трения  f = 0,4; трением на блоке пренебречь.

Решение. Определим вес тела  A:  G = mg = 8⋅9,81 = 78,5 Н.

Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G  и противоположно направленная реакция опоры RA  (рис. б).

Если же приложить некоторую силу  F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция  RA, уравновешивающая силы G  и  F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A  будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F  не превысит максимального значения силы трения  Rf max, соответствующей предельному значению угла φo (рис. в). 

Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max  и  Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. г). Спроецировав эту систему сил на оси x  и  y, получим два уравнения равновесия:

 ΣFkx = 0,  F - Rf max = 0;

 ΣFky = 0,  Rn - G = 0.

Решаем полученную систему уравнений:  F = Rf max, но  Rf max = f⋅ Rn, а  Rn = G, поэтому  

F = f⋅ G = 0,4⋅ 78,5 = 31,4 Н.

Таким образом, равновесие тела  A сохраняется при условии, что к концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз, не превышающий по весу 31,4 Н. При этом масса груза F

 m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.

Пример 2. При каком минимальном коэффициенте трения между полом и лестницей последняя может находиться в равновесии, опираясь верхним концом о гладкую стену (рис. а)? Вес лестницы  G = 120 Н.

Решение. На лестницу действует только одна нагрузка – ее собственный вес, приложенный в точке C  посередине длины лестницы AB. Вес лестницы уравновешен реакцией RA  гладкой стены и реакцией шероховатого пола, которую заменим двумя составляющими: Rn – нормальной составляющей и  Rf  – силой трения (рис. б).

Составим три уравнения равновесия:

 ΣFkx = 0,  RA  - Rf  = 0;

 ΣFky = 0,  Rn - G = 0.

 ΣMB(Fk) = 0,  G(AB/2)sinα - RA⋅ABcosα = 0.

Далее получаем

 Rf = RA = (Gsinα)/(2cosα) = (G/2)tgα = 60⋅tg20o = 21,8 Н.

Отсюда минимальный коэффициент трения, обеспечивающий равновесие лестницы

 f = Rf /Rn = Rf/G = 21,8/120 ≈ 0,2.

Таким образом, при f ≥ 0,2 лестница будет находиться в равновесии.

Пример 3. Определить наименьший угол α наклона плоскости к горизонту, при котором цилиндр радиуса r =5 см начнет скатываться по плоскости, если коэффициент трения качения 

δ = 0,05 см. Проверить, возникает ли при этом сила трения скольжения, достаточная для осуществления качения цилиндра без скольжения, если коэффициент трения скольжения f = 0,08 .

Решение. Рассматриваем критический (пусковой) момент равновесия цилиндра, когда момент сопротивления качению принимает максимальное значение:  Mcmax =Nδ.

Отбрасывая связь, заменим ее действие на цилиндр силами реакции.

При этом на цилиндр, как на свободное твердое тело, будут действовать вес цилиндра G, нормальная реакция N наклонной плоскости, которая служит связью, сила трения скольжения  Fтр, а также момент сопротивления качению  Mc. Составим уравнения равновесия произвольной плоской системы сил: