Краткие лекции по технической механике (стр. 1 )

Краткие лекции по технической механике

для специальностей: 151031, 220703, 270843

Статика

Содержание:

1.  Основные понятия и определения. Аксиомы статики 1

2.  Связи и их реакции 2

3.  Проекция силы на ось 3

4.  Равновесие системы сходящихся сил 4

5.  Определение момента силы 6

6.  Момент силы относительно точки 7

7.  Теорема Вариньона 8

8.  Момент силы относительно оси 8

9.  Пара сил 9

10.  Распределение нагрузки 10

11.  Уравнение равновесия системы сил 13

12.  Равновесие произвольной плоской системы сил 15

13.  Равновесие произвольной пространственной системы сил 15

14.  Опорные устройства балочных систем 15

15.  Понятие о трении 23

16.  Центр тяжести 28

Основные понятия и определения, аксиомы статики

1. Аксиома инерции

   Под действием уравновешенной системы сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

2. Аксиома равновесия двух сил

   Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил

   Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать от него уравновешенную систему сил.

4. Аксиома параллелограмма сил

   Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, проходящую через эту точку и равную их геометрической сумме.

5. Аксиома равенства действия и противодействия

   Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

6. Аксиома о сохранении равновесия сил, приложенных к деформируемому телу

   Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвердеет.

Связи и их реакции

   Тела в природе бывают свободными и несвободными.

Свободным телом называются такое тело, свобода перемещения которых ничем не ограничена.

Связями называются тела, ограничивающие свободу перемещения других тел, по отношению к ним. 

    Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей, согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей. 

Реакция связи всегда направлена противоположно  тому направлению, в котором связь противодействует возможному движению тела.    Необходимо правильно расставить реакции связей, иначе написанные уравнения окажутся неверными. На рисунках 1–8 приведены примеры замены связей их реакциями, расположенных в плоскости.

 Активная (заданная) сила, это сила, которая характеризует действие других тел на заданное, и вызывает или может вызвать изменение его кинематического состояния.

 Реактивная сила – сила, которая характеризует действие связей на данное тело.

 По аксиоме об освобождении тела от связей, любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, освободив его от связей и заменив их действие реакциями. В этом заключается принцип освобождения от связей.

Реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности (рис.1).

а – тело весом G на гладкой поверхности;

б – действие поверхности заменено реакцией – силой R;

в – в точке А связь «опорная точка» или ребро;

г – реакции направлены перпендикулярно 

опираемой или опирающейся плоскостям

Рис.1

   

Реакция «невесомого» троса (нити, цепи, стержня) всегда направлена вдоль троса (нити, цепи, стержня) (рис. 2).

а – балка висит на двух тросах;

б – действие тросов заменено силами Т1 и Т2;

в – связь «идеальный стержень»;

г – связь «идеальная нить»

Рис. 2

 Проекция силы на ось

   Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т. е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рис.3):

 Fx= Fcosα;

Px= Pcosβ = P⋅ cos90o=0;

Rx = R cosγ = - R⋅ cos(180o - γ).  

Рис.3

   Проекция силы на ось может быть положительной, рис.3 а (0 ≤ α < π/2), равной нулю, рис.3 б (β = π/2 ) и отрицательной, рис.3в (π/2 < γ ≤ π).

   Для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рис.4):

 Pz= P sinα;

Px= (P cosα)cosβ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90o-β).

Рис.4

Равновесие системы сходящихся сил

   При равновесии системы сходящихся сил должно выполняться условие:R=0. Из этого условия пишутся три уравнения для пространственной системы сил

 ∑xi=0

                                                             ∑yi=0

∑zi=0

и два уравнения для плоской системы сил

 ∑xi=0; ∑yi=0.

   Из этих уравнений определяются неизвестные величины.

Пример 1. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила .

Определить усилия в стержнях, если углы между ними и стеной равны α и β.

Дано:, , .

Найти: SAC, SBC.

Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OX:

 ,

Откуда выразим величину :

 .

Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY:

 ,

Откуда выразим величину :

 .

Тогда величина :

.

Пример 2. Два стержня АС и ВС соединены между собой и с опорой шарнирами. К шарниру С привязаны веревки СД и СЕ, к свободным концам подвешены грузы , ; одна или обе веревки перекинуты через блоки.

Пренебрегая весом стержней и трением в блоке, определить усилия в стержнях.

Дано: , .

Найти: , .

Решение: Расставим на рисунке все силы, приложенные к точке C. Проведем горизонтальную ось ОХ и вертикальную ось ОУ. Рассмотрим равновесие точки C в проекции на ось OY: