7. Второй замечательный предел.
8. Предел функции в точке. Равносильность определений по Коши и по Гейне.
9. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
10. Свойства непрерывных функций. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
11. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства. Основные эквивалентности.
12. Первый замечательный предел и следствия из него.
13. Производная, ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.
14. Правила дифференцирования. Таблица основных производных.
15. Дифференциал. Его применение в приближенных вычислениях.
16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
17. Производные от функции, заданной неявно.
18. Производные от функции, заданной параметрически.
19. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
21. Возрастание и убывание функции. Экстремумы.
22. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и интервале.
23. Выпуклость, точки перегиба и асимптоты графика функции.
24. Первообразная и неопределенный интеграл. Линейные свойства.
25. Таблица основных неопределенных интегралов.
26. Интегрирование с помощью замены переменной.
27. Интегрирование по частям.
28. Интегрирование рациональных дробей.
29. Интегрирование выражений от тригонометрических функций с помощью универсальной подстановки.
30. Интегрирование выражений от тригонометрических функций с понижением степени и преобразованием произведения в сумму.
31. Интегрирование иррациональностей с помощью дробно-линейных и тригонометрических подстановок.
32. Интегрирование дифференциального бинома.
33. Интегральная сумма и определенный интеграл. Метод прямоугольников.
34. Формула Ньютона-Лейбница.
35. Приемы вычисления определенных интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование в симметричных пределах.
36. Несобственные интегралы первого и второго рода.
37. Геометрические приложения определенного интеграла.
38. Физические приложения определенного интеграла.
39. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Графическое представление функций двух переменных.
40. Частные производные. Производная сложной функции. Полный дифференциал, его инвариантность.
41. Производная по направлению. Градиент, его геометрический смысл.
42. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.
43. Производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
44. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
45. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области.
46. Понятие об условном экстремуме.
47. Двойной интеграл: определение, свойства, физический и геометрический смысл.
48. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному, изменение порядка интегрирования.
49. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
50. Тройной интеграл: определение, свойства, физический и геометрический смысл.
51. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.
52. Приложения кратных интегралов.
53. Криволинейный интеграл I рода: определение, свойства, правила вычисления.
54. Приложения криволинейного интеграла I рода.
55. Криволинейный интеграл II рода: определение, физический смысл, свойства, правила вычисления, связь с интегралом I рода.
56. Формула Грина.
57. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
58. Поверхностный интеграл I рода: определение, свойства, правила вычисления.
59. Приложения поверхностного интеграла I рода.
60. Поверхностный интеграл II рода: определение, физический смысл, свойства, правила вычисления, связь с интегралом I рода.
61. Формула Остроградского-Гаусса.
62. Формула Стокса.
63. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Физические примеры.
64. Дифференциальные операции 1 порядка над векторными и скалярными полями. Оператор Гамильтона. Потенциальные и соленоидальные поля.
65. Дифференциальные операции 2 порядка над скалярными и векторными полями. Гармонические поля.
66. Формулировка теорем Остроградского-Гаусса и Стокса в терминах векторного анализа.
67. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме.
68. Вывод волнового уравнения для электромагнитного поля.
69. Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям. Постановка задачи Коши для уравнений первого порядка.
70. Приближенное решение дифференциальных уравнений методом изоклин. Метод Эйлера.
71. Уравнения с разделяющимися переменными.
72. Однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
73. Линейные неоднородные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.
74. Уравнение и метод Бернулли.
75. Уравнения в полных дифференциалах. Понятие об интегрирующем множителе.
76. Постановка задачи Коши для уравнения высших порядков. Механический смысл задачи Коши для уравнений второго порядка.
77. Случаи понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений.
78. Линейные неоднородные уравнения высших порядков. Фундаментальная система решений, критерий линейной независимости системы функций.
79. Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений высших порядков.
80. Уравнения с постоянными коэффициентами: структура общего и частного решения.
81. Линейные однородные уравнения второго порядка и описание свободных колебаний.
82. Неоднородные уравнения второго порядка. Резонанс в средах без сопротивления и с сопротивлением.
83. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
84. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их систем.
85. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения.
86. Решение дифференциальных уравнений операторным методом.
87. Числовой ряд. Необходимое условие сходимости и достаточное условие расходимости.
88. Признаки сравнения. Ряд геометрической прогрессии.
89. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.
90. Интегральный признак Коши. Гармонический и обобщенный гармонический ряд.
91. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
92. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
93. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость.
94. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости.
95. Ряды Тейлора и Маклорена.
96. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
97. Ряд Фурье 2p-периодической функции. Теорема Дирихле.
98. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье. Ряд Фурье по отрезку произвольной длины.
99. Комплексная форма ряда Фурье.
100. Понятие об интеграле Фурье.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение учебной дисциплины
а) основная литература
1. Берман задач и упражнений по математическому анализу / . – 22-е изд. – М. : Профессия, 2002. – 432 с.
2. Кузнецов заданий по высшей математике. Типовые расчеты / . – 11-е изд. – СПб. : Лань, 2008. – 240 с.
3. Пискунов и интегральное исчисление. В 2 т. / . – М. : Интеграл-Пресс, 2005.
4. Письменный лекций по высшей математике. Полный курс / . – М. : Айрис Пресс, 2005. – 608 с.
5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 4 ч. / , , и др.; под ред. . – Минск : Вышейшая школа, 2006–2009.
б) дополнительная литература
6. Будак интегралы и ряды : учебник / , . 3-е изд. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 512 с.
7. Демидович задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие для вузов. / . – М. : Астрель» : АСТ», 2004. – 558 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
8. Википедия [Электронный ресурс] : [свобод. Интернет-энцикл.] – Электрон. дан. и прогр. – Режим доступа: http://ru. wikipedia. org, свободный. – Русскояз. часть междунар. проекта «Википедия». – Загл. с экрана. – Дата обращения: 16.06.2012.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Учебная аудитория (наличие доски обязательно).
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
При преподавании курса необходимо устанавливать внутри - и междисциплинарные связи математического анализа. Лучшему усвоению курса способствует иллюстрация физических, экономических (задачи на экстремум) и прочих приложений изучаемых понятий и методов. Так, при изучении первой и второй производной следует подчеркнуть их механический смысл как скорости и ускорения материальной точки; вычисление интеграла необходимо, чтобы по заданной скорости восстановить координату; криволинейный интеграл второго рода интерпретируется как работа силы, поверхностный интеграл второго рода – как поток поля. Понятия векторного анализа иллюстрируются изучением уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле. Разложение в ряд Фурье необходимо при изучении периодических процессов, в частности, при разложении сигнала на гармоники.
Регулярное проведение (и даже подчеркивание) аналогий также помогает лучше изучить курс математического анализа. Например, изучение кратных, криволинейных и поверхностных интегралов строится по одной и той же схеме: составляется интегральная сумма, выполняется предельный переход, после чего необходимо научиться вычислять дифференциал длины (площади, объема) соответственно. Приложения этих интегралов также сходны: масса, заряды, статические моменты, моменты инерции тел и т. д. По аналогии с теоремой Ферма рассматривается и необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. Достаточное условие (знакоопределенность некоторой квадратичной формы) соответствует определенности знака второй производной функции одной переменной и т. д.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
