Рабочая программа учебной дисциплины «Математический анализ» (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра математики и теоретической механики

«УТВЕРЖДАЮ» _____________________ _____________________ «______»__________2012 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

«Математический анализ»

Направление подготовки

231000.62 – Программная инженерия

Профиль подготовки

«Управление разработкой программных проектов»

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

г. Саранск

2012 г.

1. Цели и задачи учебной дисциплины

Цели освоения дисциплины таковы:

-  ознакомление студентов с методами математического исследования теоретических и прикладных вопросов и с понятием математического моделирования;

-  развитие логического мышления, навыков математического исследования явлений и процессов, связанных с профессиональной деятельностью;

-  формирование навыков самостоятельной работы, организации исследовательской работы.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

-  изучение основных понятий и методов дисциплины;

-  формирование представления о месте и роли математики (а именно раздела «Математический анализ») в современном мире;

-  установление междисциплинарных связей математического анализа;

-  формирование навыков самостоятельного изучения специальной литературы.

2. Место дисциплины в структуре ООП. Междисциплинарные связи

Дисциплина входит в базовую часть образовательной программы (цикл Б.2).

Для освоения дисциплины необходимы знания математики в объеме, предусмотренном базовым уровнем федерального компонента ГОС среднего (полного) общего образования по математике (утвержден приказом № 000 Министерства образования РФ от 5 марта 2004 года).

Математический анализ изучается параллельно с дисциплинами:

-  «Алгебра и геометрия» (базовая часть цикла Б.2);

-  «Физика» (вариативная часть цикла Б.3).

Математический анализ предшествует дисциплинам:

-  «Теория вероятностей и математическая статистика» (базовая часть цикла Б.2);

-  «Основы электроники» (вариативная часть цикла Б.2);

-  «Вычислительная математика» (вариативная часть цикла Б.2);

-  «Методы оптимизации» (вариативная часть цикла Б.2);

-  профильным дисциплинам, в т. ч. по выбору студента (цикл Б.3).

3. Требования к результатам освоения дисциплины

Изучение дисциплины «Математический анализ» направлен на формирование у студента следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций:

-  ОК-10: готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;

-  ПК-2: способность к формализации в своей предметной области с учетом ограничений используемых методов исследования.

В результате изучения математического анализа студент должен

·  Знать: основные определения, понятия, теоремы разделов математического анализа, предусмотренных настоящей программой;

·  Уметь: решать математические задачи, пользоваться накопленными математическими знаниями при изучении других дисциплин;

·  Владеть: математическими методами для решения задач производственного характера, навыками использовать в профессиональной деятельности базовые знания в области математики, обладать умением составлять математические модели типовых профессиональных задач и находить способы их решений; интерпретировать профессиональный (физический) смысл полученного математического результата.

4. Образовательные технологии

Курсы лекционных и практических занятий организуются по стандартной технологии.

5. Структура дисциплины

№ п/п	Раздел учебной дисциплины	Курс	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, в т. ч. СРС и трудоёмкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)	Форма промежуточной аттестации
лекции	практические занятия	СРС*
1.	Введение в анализ. Пределы	1	1	1 – 5	10	10	16	КР** (6-я неделя)	зачёт
2.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной	1	1	6 – 10	8	10	14	КР (11-я неделя)
3.	Интегральное исчисление	1	1	11 – 18	18	16	24	КР (17-я неделя)
4.	Функции нескольких переменных	1	2	1 – 2	6	6	9	КР (5-я неделя)	экзамен
5.	Кратные интегралы	1	2	3 – 6	12	12	24
6.	Векторный анализ и теория поля	1	2	7 – 10	10	10	21	КР (10-я неделя)
7.	Дифференциальные уравнения	1	2	11 – 15	16	16	30	КР (15-я неделя)
8.	Ряды	1	2	15 – 18	10	10	15

* СРС – самостоятельная работа студента

** КР – контрольная работа

5.1 Содержание учебной дисциплины (модуля). Объем дисциплины и виды учебных занятий

Вид* учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2
Аудиторные занятия (всего)	180	90	90
В том числе:	-	-	-
Лекции	72	36	54
Практические занятия (ПЗ)	108	36	54
Самостоятельная работа (всего)	216	54	162
В том числе:	-	-	-
Контрольные работы	36	18	18
Другие виды самостоятельной работы
Самостоятельное изучение разделов, повторение лекционного материала, подготовка к практическим занятиям		18	39
Выполнение домашних заданий		18	42
Подготовка к экзамену	63		63
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		зачёт	экзамен
Общая трудоемкость час зач. ед.	396	126	270
11	3,5	7,5

5.2. Содержание разделов учебной дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
1 семестр
1.	Введение в анализ. Пределы	Числовые множества. Отображения. Функции. Комплексные числа. Числовая последовательность; предел числовой последовательности; предельный переход в неравенствах; предел монотонной ограниченной последовательности. Число e. Предел функции в точке; односторонние пределы; бесконечно большие и бесконечно малые функции. Замечательные пределы. Эквивалентные функции и их применение. Непрерывность функций в точке; на интервале и на отрезке; точки разрыва функций и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций; свойства функций, непрерывных на отрезке	Опрос студентов; ИДЗ 5.1, 5.2
Выполнение КР-1	6-я неделя
2.	Дифференциальное исчисление функций одной переменной	Задачи, приводящие к понятию производной; определение производной, ее механический и геометрический смысл. Правила дифференцирования, таблица основных производных. Уравнение касательной и нормали к кривой; связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные неявных и параметрически заданных функций, логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков; механический смысл производной второго порядка. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл, применение дифференциала к приближенным вычислениям; дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Исследование функций при помощи производных: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши; правила Лопиталя; возрастание и убывание функций; максимум и минимум функций; наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке; приложения к решению практических задач. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения графика.	Опрос студентов; ИДЗ 6.1, 6.2, 6.3, 6.4
Выполнение КР-2	11-я неделя
3.	Интегральное исчисление	Первообразная и неопределенный интеграл. Линейные свойства, таблица основных интегралов. Интегрирование подстановкой (заменой переменной), интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций: универсальная подстановка, понижение степени синуса / косинуса и т. д. Интегрирование иррациональностей: дробно-линейная и тригонометрическая подстановки, квадратичные иррациональности, дифференциальные биномы. Понятие о «берущихся» и «неберущихся» интегралах. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Метод прямоугольников. Вычисление определенного интеграла заменой переменной и по частям; интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Несобственные интегралы I и II рода. Общая схема применения определенного интеграла, его геометрические и физические приложения: вычисление длины дуги плоской кривой, объёма и площади поверхности тела вращения. Механические приложения определённого интеграла.	Опрос студентов; ИДЗ 8.1, 8.2, 8.3, 8.4
Выполнение КР-3	17-я неделя
2 семестр
4.	Функции нескольких переменных	Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Линии уровня и график функции двух переменных. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование; производная по направлению. Градиент. Полный дифференциал функции; применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Производная сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференцирование неявной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных: понятие, необходимые и достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум.	Опрос студентов; ИДЗ 10.1, 10.2
5.	Кратные интегралы	Двойной интеграл: определение, основные свойства, физический и геометрический смысл. Вычисление сведением к повторному, изменение порядка интегрирования. Замена переменных (частный случай: полярные координаты). Приложения двойного интеграла. Тройной интеграл: определение, свойства, физический и геометрический смысл. Вычисление сведением к повторному. Замена переменных (частные случаи: цилиндрические и сферические координаты). Приложения тройного интеграла.	Опрос студентов; ИДЗ 13.1, 13.2, 13.3
Выполнение КР-4	5-я неделя
6.	Векторный анализ и теория поля	Криволинейный интеграл I рода: определение, свойства, вычисление, геометрические и физические приложения. Криволинейный интеграл II рода: определение, свойства, вычисление, приложения. Формула Грина; условие независимости интеграла II рода от пути интегрирования. Поверхностный интеграл I рода: определение, свойства, вычисление, некоторые приложения. Поверхностный интеграл II рода: определение, свойства, способы вычисления. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Приложения поверхностного интеграла II рода. Скалярные и векторные поля. Векторные линии. Физические примеры. Дивергенция и ротор. Оператор Гамильтона. Связь теорем Остроградского-Гаусса и Стокса с формулами векторного анализа. Дифференциальные операции второго порядка. Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля. Уравнения Максвелла.	Опрос студентов; ИДЗ 14.1, 14.2, 15.1, 15.2, 15.3
Выполнение КР-5	10-я неделя
7.	Дифференциальные уравнения	Основные понятия и определения; задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Изоклины. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений. Задача Коши для уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и сводящиеся к ним. Линейные неоднородные уравнения первого порядка: метод вариации произвольной постоянной. Уравнения и метод Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах и интегрирующий множитель. Уравнения высших порядков и постановка задачи Коши. Физический смысл уравнения второго порядка. Понижение порядка. Линейные уравнения высших порядков: структура общего решения и метод вариации произвольной постоянной. Уравнения с постоянными коэффициентами: общее и частное решение, характеристическое уравнение. Уравнения второго порядка и колебательные явления. Системы дифференциальных уравнений: основные понятия, интегрирование нормальных систем; системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость решений. Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения. Понятие о решении дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления.	Опрос студентов; ИДЗ 11.1, 11.2, 11.3, 11.4
Выполнение КР-6)	15-я неделя
8.	Ряды	Числовые ряды: основные понятия, необходимый признак сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии и гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, Даламбера; радикальный и интегральный признаки Коши. Обобщенный гармонический ряд. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Функциональные ряды, равномерная сходимость, область сходимости. Степенные ряды: теорема Абеля; интервал и радиус сходимости; свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения степенных рядов в приближенных вычислениях: вычисление значений функций и определенных интегралов; решение дифференциальных уравнений. Разложение функций в ряд Фурье на отрезке длины 2p. Теорема Дирихле. Разложение четных и нечетных функций. Разложение на отрезке произвольной длины, разложение непериодических функций. Комплексная форма ряда Фурье.	Опрос студентов; ИДЗ 12.1, 12.2, 12.3, 12.4

5.3 Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами