Лабораторное занятие № 1 (стр. 2 )

: :

Очевидно, что в качестве номера можно взять 1, т. к. .◄

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ № 2.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Предел последовательности.

Определение 1. Числовая последовательность называется бесконечно большой, если > 0 , такой что выполняется неравенство .

Задача № 43 а). Доказать, что последовательность является бесконечно большой.

Решение. Возьмём > 0. Надо найти номер , начиная с которого выполняется неравенство . Следовательно, .

Определение 2. Числовая последовательность называется бесконечно малой, если > 0 , такой что выполняется неравенство .

Задача № 42 б). Доказать, что последовательность является бесконечно малой.

Решение. Возьмём > 0. Надо найти номер , начиная с которого выполняется неравенство . А т. к.

, то искомый номер найдём из неравенства

. .

Определение 3. Числовая последовательность называется сходящейся к числу а:

, - если > 0 , такой что выполняется неравенство .

Задача №41. Пусть . Доказать, что .

Решение. Возьмём > 0. Надо найти номер , начиная с которого выполняется неравенство .

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ № 3.

Монотонные последовательности. Число е.

Доказано, что последовательность .

По задаче № 69 последовательность (убывающая). Покажем, что она тоже сходится к числу е.

► >,

. ◄

Из этих формул получаем, что < е <

< е < .

Прологарифмируем последнее двойное неравенство по основанию е > 1:

< 1 < .

Отсюда: < < .

Пусть числовая последовательность такая, что > 0. При выполнении этого условия монотонность последовательности можно установить ещё одним способом. - Эта последовательность является возрастающей (не убывающей, убывающей, не возрастающей), если > 1 ( 1, < 1, 1).