Лабораторное занятие № 1 (стр. 1 )

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ № 1.

Метод математической индукции.

Операции над множествами.

Супремум и инфимум числового множества.

Метод математической индукции.

Задача № 2. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа справедливо равенство:

= .

Решение. 1). Проверим, что формула верна при п =1:

1 = 1 – верно!

2). Допустим, что для некоторого N формула верна:

= .

3). Докажем, что тогда формула верна и для следующего натурального числа :

.

►

используем предположение пункта 2):

◄

Операции над множествами.

Определение 1. Два множества называются равными: , - если каждое из них является подмножеством другого, т. е.

.

Определение 2. Пусть и - произвольные множества; их объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и , т. е. . (1)

Определение 3. Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и ; т. е.

(2)

Аналогично,

Операции объединения и пересечения множеств по самому своему определению коммутативны и ассоциативны, т. е.

,

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

Определение 4. Разностью множеств и называется множество тех элементов из , которые не содержатся в ;

т. е. (5)

Определение 5. Симметрической разностью ∆ множеств и называется множество, являющееся объединением множеств и :

∆;

т. е. ∆ (6)

Пример. Доказать равенство

►

по Определению 1.◄

Супремум и инфимум числового множества.

Задача. Найти , , если .

Решение. Представим общий член этого множества в виде:

.

Теперь покажем, что =2, ==.

=2.

►1).Покажем, что 2 – верхняя граница множества А, т. е. N.

В самом деле,

-1 - верно.

2). Покажем, что 2 - наименьшая из верхних границ, т. е. : :

, т. к. ;

например, .◄

=.

►1). Покажем, что - нижняя граница множества А, т. е. N.

В самом деле,

- верно.

2). Покажем, что - наибольшая из нижних границ, т. е.