Лабораторное занятие № 1 (стр. 3 )

Задача № 80. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности .

Решение. Так как > 0, то сравним отношение каждого последующего члена последовательности к предыдущему с 1:

= > 1 > эта последовательность является возрастающей. Следовательно, её первый член ограничивает эту последовательность снизу.

Докажем, что данная последовательность ограничена и сверху.

►<

используем правую часть доказанного выше неравенства < <

< < +.

Получили: < 1 < е .◄

Т. о., < е. Следовательно, R.

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ № 4.

Критерий Коши сходимости последовательности.

Верхний и нижний пределы последовательности.

Теорема (критерий Коши). Числовая последовательность сходится (в R, т. е. - к конечному пределу) она фундаментальная >0 N: , N <.

Задача № 84. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

Решение. Заданы >0, N. Рассмотрим :

= ==

=…+

+

используем неравенство R:

так как N , то

= < .

Найдём номер, начиная с которого выполняется неравенство < :

> > . Тогда

< < , т. к. доказано, что данная последовательность - фундаментальная R.

Задача. Найти верхний и нижний пределы последовательности

, N.

Решение. Первый сомножитель - числовая последовательность, сходящаяся к 2. Рассмотрим значения второго сомножителя при различных значениях аргумента :

	1	2	3	4	5	6	7	8…
	1	0	-1	0	1	0	-1	0…

Выделим из данной последовательности три сходящиеся подпоследовательности:

: 2

: 0

: -2

Поэтому , ,

.

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ № 5.

Обратная функция. Гиперболические функции.

Утверждение. ;

является биективной функцией