Механика жидкости и газа (стр. 3 )

Линия тока - линия, проведенная в жидкости в данный момент времени так, что скорости всех частиц, находящихся на этой линии, направлены по касательным к ней.

Дифференциальные уравнения линии тока:

(4)

Время t - параметр.

Движение жидкости будет стационарным (установившимся), если скорости частиц жидкости явным образом не зависят от времени. В противном случае - движение нестационарно (неустановившееся). Для стационарного движения линии тока совпадают с траекториями.

Дивергенция (расходимость) векторного поля характеризует от­сутствие или наличие в точке поля источника или стока:

где - поток векторного поля через замкнутую поверхность s, объем которой . Если > 0, то в рассматриваемой точке имеется источник; если < 0, то - сток; если = 0, то - нет ни источника, ни стока.

Дивергенция векторного поля в точке рассчитывается по формуле:

Если векторное поле скоростное, то есть , то

.

Уравнение неразрывности (сплошности). Рассматривая в прост­ранстве протекание жидкости через замкнутую поверхность, можно заключить, что если за некоторый промежуток времени количество вытекающей жидкости не будет равно количеству втекающей, то внут­ри объем этой жидкости произойдет изменение плотности. Аналити­чески этот факт описывается уравнением неразрывности:

,

которое является выражением закона сохранения масс (материи), ус­тановленным впервые в 1748 г.

Разновидности записи уравнения неразрывности:

,

Частные случаи уравнения неразрывности:

а) для стационарного движения ,

;

б) для несжимаемой жидкости ( = const)

или ; (5)

в) для стационарного движения несжимаемой жидкости

- (6)

постоянство потока через трубу переменного сечения s.

Или скорости потока обратно пропорциональны сечениям.

Уравнение (6) называют гидравлическим уравнением неразрывности.

Состояние движения жидкости будем называть вихревым, если существуют области, в точках которых вихрь скорости () отли­чен от 0. Считая, что точки, в которых , сплошным образом заполняют некоторое пространство, мы приходим к понятию нового векторного поля - поля вихрей.

Подобно тому, как линии тока дают представление о поле ско­ростей, вихревые линии дают представление о поле вихрей в жидкос­ти. Вихревая линия - линия, проведенная в жидкости в данный мо­мент времени так, что вихри всех частиц, находящихся на этой ли­нии, направлены по касательной к ней в соответствующих точках. Дифференциальные уравнения вихревых линий:

где ; ; (7)

Если в каждой точке рассматриваемого поля жидкости rotv = 0, то такое поле называется безвихревым. Для безвихревого поля

,

где функция называется потенциалом скорости.

Безвихревое поле называется потенциальным. Для потенциально­го поля

, , . (8)

Для безвихревого поля несжимаемой жидкости уравнение нераз­рывности принимает вид:

,

или

, которое называют уравнением Лапласа.

Плоско-параллельное движение несжимаемой жидкости. Определе­ние плоско-параллельного движения жидкости остается таким же, как и в теоретической механике для абсолютно твердого тела: движение жидкости называется плоским, если все частицы ее, находящиеся на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, описывают тождественные и параллельные этой плоскости траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Если движение стационарно, то дифференциальное уравнение ли­нии тока имеет вид: , или после интегрирования = const. При различных значениях константы получаем и различные линии тока. Поэтому функцию называют функцией тока. Компоненты скорости через функцию тока выражаются следующим образом:

, . ( 9)

Для безвихревого движения несжимаемой жидкости:

, , (10)

откуда видим связь между потенциалом и функцией тока.

ДИНАМИКА

Раздел "Динамика жидкости" предпочтительнее начинать изучать с вязкой жидкости, рассматривая идеальную жидкость как частный случай вязкой.

Все реальные жидкости являются вязкими, то есть обладают свойством внутреннего трения. Надо четко себе представлять, что вязкие жидкости, кроме нормальных напряжений, имеют еще касательные. Особое внимание следует обратить на тензор нап­ряжений и уравнения движения жидкости в напряжениях (в форме Навье).

Идеальной (несуществующей) жидкостью называется жид­кость, в которой коэффициент вязкости настолько мал, что его можно считать равным нулю. Касательные напряжения в вязкой жидкости отсутствуют, а нормальные напряжения определяются давлением. Поэтому уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера можно получить как частный случай из уравнений Навье.

Частным случаем уравнений движения в форме Навье (для вязкой жидкости) и в форме Эйлера (для идеальной жидкости) являются уравнения движения в форме Громека (из конвективной производной выделены слагаемые, описывающие вихревое движе­ние).

Дифференциальные уравнения в форме Эйлера или Громека в общем виде не интегрируются. Интегралы этих уравнений можно получить при выполнении следующих двух условий:

1) жидкость должна быть несжимаемой ( = const) или баро­тропной , то есть плотность должна зависеть только от давления;

2) массовые силы должны иметь потенциал, то есть

Из этих предположений получают важные для теоретических и практических исследований интегралы движений: для стацио­нарного вихревого движения - интеграл Д. Бернулли; для неста­ционарного безвихревого движения - интеграл Лагранжа, или Ко­ши (частный случай установившегося безвихревого движения - интеграл Лагранжа-Бернулли).

Студентам предлагается обратить внимание на возможности замыкания системы уравнений идеальной жидкости и постановку начальных и граничных условий.

Для возможности замыкания уравнений движения вязкой жид­кости (в напряжениях) введены три гипотезы Стокса. Используя гипотезы Стокса, уравнения движения в форме Навье преобразу­ются в уравнения Навье-Стокса, замыкание которых проводится по уже знакомой из предыдущего пункта схеме для уравнений идеальной жидкости.

Интересным разделом является теория подобия. Следует об­ратить особое внимание на числа Рейнольдса и Фруда.

Для описания турбулентных движений проводится усреднение уравнений движения по Рейнольдсу. Студентам необходимо уметь проводить операцию усреднения и знать cоотношения Прандтля.