При рассмотрении волновых движений надо обратить внимание на математическую постановку вопроса. Имеются две существенные особенности волнового движения. Первая - конвективная составляющая ускорения считается настолько малой по сравнению с локальной составляющей, что ею пренебрегают. Вторая - поле скоростей при волновом движении потенциально. Особо надо сделать акцент на граничных условиях на свободной поверхности. Отметим наиболее существенные вопросы: волновое движение, составление дифференциальных уравнений и граничных условий, стоячие волны, прогрессивные волны, скорость распространения волн.
Уравнения гидростатики - частный случай уравнений движения (жидкость находится в статическом равновесии).
Разберем решения типовых задач.
Задача 1. Скорость жидкого потока 
. Определить:
а) вектор ускорения этого потока;
б) уравнения линий тока и траектории, проходящих через точку А (2, 4, 8);
в) является ли жидкость несжимаемой;
г) является ли поток потенциальным.
Решение. а) Компоненты скорости на соответствующие оси:
.
Ускорение потока 
, где компоненты ускорения определяются по формулам (2), в которых
, так как движение установившееся;
, 
, 
;
, 
, 
;
, 
, 
.
Подставляя в (2) найденные выражения, получим:
, 
, 
.
Откуда 
.
б) Найдем линию тока, используя формулу (4):
Запишем два дифференциальных уравнения:
, 
Имеем дифференциальные уравнения с разделенными переменными, интегрируя которые, получаем:
, 
.
Из условия, что линия тока проходит через точку А (2,4,8), получим:
, 
,
откуда 
= - 1/4, = - 1/8.
Тогда линия тока, проходящая через точку А, принимает вид:
Линия тока есть линия пересечение двух плоскостей.
Так как движение установившееся, то траектория совпадает с линией тока.
в) Протекание несжимаемой жидкости возможно только в том случае, если выполняется уравнение (5). Для нашего примера
.
Следовательно, жидкость сжимаема во всех точках (кроме 
).
г) Чтобы поток был потенциален, необходимо и достаточно, чтобы он был безвихревым, то есть все проекции ротора вектора скорости на координатные оси должны быть равны нулю. Проверим выполнение условий (7).
; 
; 
.
Следовательно, поток потенциален.
Задача 2. Движение жидкости описывается потенциалом скоростей
.
Найти: а) вектор скорости и его модуль; б) функцию тока.
Решение. Движение плоско-параллельное и безвихревое.
Согласно (8):
; 
.
; 
(за исключением точки (0,0) ).
б) Согласно (9) и (10)
, 
.
Для определения произвольной константы продифференцируем последнее выражение по x:
. Согласно (10)
, то есть 
.
Или
; 
; 
.
Таким образом, для данного потока жидкости функция тока имеет вид:
.
Контрольная работа по курсу
"Механика жидкости и газа"
для студентов III курса з/о специальностей
"Гидрология" и “Природопользование”
Задание 1. Определить семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А(1,1) в момент времени t=0. Определить траекторию частицы, которая в момент времени t=0 находилась в точке А. Задано поле скоростей: u = 2x; v = 3t; 
= 0.
Задание 2. Компоненты поля скорости имеют вид:
, 
, 
.
1) Определить, будет ли:
а) жидкость несжимаема;
б) поток потенциален.
2) Найти составляющие вектора ускорений.
3) Записать вектор ускорения и его модуль.
Задание 3. Составить уравнения вихревых линий, если скорость потока жидкости
, 
, 
.
Задание 4. Найти функцию тока, если потенциал скоростей
.
Изобразить на графике линии тока и линии равного потенциала.
Задание 5.
1. Показать, что если река имеет закругление (см. схему), то у берега А с внутренней стороны закругления уровень ниже, чем у берега В с наружной стороны. Считать движение установившимся и безвихревым, зная, что в точке A скорость течения больше, чем в точке В.
Примечание. Использовать интеграл Д. Бернулли.
Задание 6. Записать уравнения движения жидкости (в векторном и скалярном видах) в форме:
а) Эйлера,
б) Навье,
в) Навье-Стокса,
г) Рейнольдса.
Задание 7. Определить режим течения воды в трубе диаметром d = 0,05 м, если расход воды Q = 5 л/с и кинематический коэффициент вязкости n = 0,0131 cм2/с (при температуре воды 10 oC).
Контрольная работа по курсу
"Механика жидкости и газа"
для студентов III курса з/о специальности "Метеорология"
Задание 1.Определить семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А (1,1) в момент времени t = 0. Определить траекторию частицы, которая в момент времени t = 0 находилась в точке A. Задано поле скоростей: u = xt; v = yt; = 0.
Задание 2. Компоненты поля скорости имеют вид:
, , 
.
1. Определить, будет ли:
а) жидкость несжимаема;
б) поток потенциален.
2. Найти составляющие вектора ускорений.
3. Записать вектор ускорения и его модуль.
Задание 3. Составить уравнения вихревых линий, если скорость потока жидкости
, 
, 
.
Задание 4. Найти функцию тока, если потенциал скоростей
.
Изобразить на графике линии тока и линии равного потенциала.
Задание 5. Определить, как изменится давление в зависимости от скорости течения несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе переменного сечения, если движение установившееся и из массовых сил действует только сила тяжести.
Примечание. Использовать интеграл Д. Бернулли.
Задание 6. Записать уравнения движения жидкости (в векторном и скалярном видах) в форме:
а) Эйлера,
б) Навье,
в) Навье-Стокса,
г) Рейнольдса.
Задание 7. Описать и изобразить графически схему возникновения бризов днем и ночью.
Механика жидкости и газа
Методические указания
Составители
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
