Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства – рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, связность. Примеры. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на непересекающиеся классы. Критерий отношения эквивалентности. Фактор-множество, естественное отображение. Примеры из алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа, школьного курса математики.
[1], гл.1, § 2, [ 5 ], гл.2. §2 ,4, [13], § 1, [ 6], гл.1. § 6.
2. Функция. Произведение функций. Тождественное отображение. Обратимое отображение.
Основное содержание
Функциональное отношение. Функция как бинарное отношение. Произведение отображений. Равные функции. Сюрьективное, инъективное, биективное отображение. Теорема об ассоциативности произведения отображений. Тождественное отображение. Обратная функция. Критерий обратимости функций.
[9], стр. 30-37, [ 6 ], стр. 3-40
3. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Основное содержание
Определение бинарной операции. Аддитивная и мультипликативная форма записи операции. Свойства бинарной операции – ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального (единичного, нулевого) и симметричного (противоположного, обратного) элементов. Определение группы. Примеры групп (числовых и нечисловых, конечных и бесконечных, абелевых и неабелевых). Простейшие свойства групп – обобщенный закон ассоциативности; единственность нейтрального, симметричного элементов. Гомоморфизм групп. Изоморфизм групп.
[2], Гл.1, § 1-5, [ 13 ], §2, [6], Гл.4, § 1,2, [5], Гл.3 §1.3; Гл.10, § 1.
4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Критерий подкольца. Изоморфизм колец.
Основное содержание
Определение кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца (единственность нулевого и противоположного элементов, выполнимость вычитания).Аддитивная группа кольца. Определение и критерий подкольца. Фактор-кольцо. Определение гомоморфизма и изоморфизма колец, их простейшие свойства. Ядро гомоморфизма, его основное свойство. Естественный гомоморфизм. Теорема об эпиморфизме для колец.
[2], Гл.1, § 6, [ 5 ], Гл.3, §12,4, [3], Гл.2, § 1,2,3, [13], § 3, [ 6 ], Гл.4, §3.
5. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства поля. Подполе. Критерий подполя. Изоморфизм полей.
Основное содержание
Определение поля. Примеры полей (бесконечных и конечных). Простейшие свойства поля. Характеристика поля. Подполе – определение и критерий. Определение изоморфизма полей, примеры.
[2], Гл.1, § 6,7, [6], Гл..4 §3, [5], Гл.4, §5 , [13], § 7
6. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Основные вопросы.
Необходимость расширения поля действительных чисел. Построение поля С комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции сложения, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме. Операции умножения, деления, возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, извлечение корня n-ой степени в С.
[2], Гл.1, § 7, [7], Гл.6, §1-3, [5], Гл..4 §7, [13], §8, [ 6 ], Гл.5, §1
7. Векторное пространство. Примеры простейшее свойства векторных пространств. Подпространство. Критерий подпространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов пространства.
Основное содержание
Определение векторного пространства над полем. Примеры. Арифметическое векторное пространство. Простейшие свойства векторных пространств. Определение и свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов, их нахождение. Определение подпространства. Критерий подпространства. Размерность векторного пространства.
[2], Гл.2, § 1,2, [8], Гл. 8 ,§44, [5], Гл..7, §1, [13], §10
8. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
Основное содержание
Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Совместная система. Определенная система. Теорема Кронекера-Капелли о совместности и количестве решений системы. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, матричным методом и методом Крамера.
[11] гл.5 185-198. [16] гл. 4 105-145.
9. Линейный оператор в конечномерном пространстве, его матрица.
Основное содержание
Линейное отображение и линейный оператор в конечномерном пространстве. Ядро линейного оператора. Дефект линейного оператора. Матрица линейного оператора. Ранг линейного оператора. Теорема о связи размерности векторного пространства с рангом и дефектом линейного оператора.
[11] гл.8 283-298
10. Ортогональные преобразования Евклидова пространства. Ортогональные матрицы и их свойства.
Основное содержание
Евклидово пространство. Ортогональные преобразования Евклидова пространства. Ортогональные матрицы и их свойства.
[11] гл.7 276-282. [16] гл. 5 145-162.
11. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы.
Основное содержание
Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Характеристическое уравнение линейного оператора.
[11] гл.8 307-310.
12. Прямая на плоскости и в пространстве. Уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
Основное содержание
Прямая на плоскости: параметрическое уравнение прямой; общее уравнение прямой; уравнение прямой по двум точкам; уравнение прямой в отрезках; свойства общего уравнения прямой; взаимное расположение прямых; расстояние от точки до прямой. Прямая в пространстве: параметрическое уравнение прямой; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой по двум точкам; прямая как линия пересечения двух плоскостей.
[12] гл.2 50-56, 58-63.гл.2 192-194.
13. Плоскость. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Основное содержание
Плоскость. Параметрическое уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Свойства общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми.
[12] 184-192, 194-198.
14. Алгебраические линии и поверхности второго порядка, канонические уравнения, классификация.
Основное содержание
Алгебраическая линия второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Канонические уравнения. Свойства. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Канонические уравнения. Свойства. Классификация.
[12] гл.4 121-133, гл.3 206-226.
15. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге – Кутта. Порядок точности методов. Практическая оценка погрешности по правилу Рунге.
Основное содержание
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, определение приближенного сеточного решения и его погрешности, геометрический смысл этих определений. Задача вычисления приближенного сеточного решения задачи Коши с заданной точностью. Вычислительная схема Эйлера с помощью формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности приближенного сеточного решения задачи Коши, полученного методом Эйлера и порядок точности. Вычислительная схема Рунге-Кутта 4 порядка точности. Метод повторного счета (правило Рунге) применительно к вычислению приближенного сеточного решения задачи Коши с заданной точностью.
[3], гл. 9, п.9.1.
16. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол). Оценки погрешностей квадратурных формул. Практическая оценка погрешности по правилу Рунге.
Основное содержание
Задача приближенного интегрирования. Определение квадратурной формулы, узлов, коэффициентов и остатка квадратурной формулы. Метод построения квадратурных формул Ньютона-Котеса. Необобщенные и обобщенные формулы Трапеций. Необобщенные и обобщенные формулы прямоугольников и Симпсона. Оценка погрешности и порядки точности для обобщенных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона (для всевозможных случаев, в зависимости от степени гладкости подынтегральной функции). Пример использования оценки погрешности для вычисления интеграла с заданной точности. Метод повторного счета (правило Рунге) применительно к вычислению интеграла с заданной точностью.
[2], гл.8, п. п. 8.1.
17. Постановка задачи приближенного решения уравнения 
. Метод последовательных приближений. Отделение корня уравнения. Методы касательных (Ньютона), хорд и комбинированный метод хорд и касательных: алгоритм, условия применимости, условие окончания итераций, геометрический смысл.
Основное содержание
Определение приближенного решения уравнения с одним неизвестным, имеющего заданную точность. Принцип последовательных приближений. Определения последовательности приближений (итераций) и итерационных методов. Механизм отделения искомого корня. Методы (касательных, хорд и комбинированного метода хорд и касательных) вычисления членов последовательности приближений, геометрический смысл. Теорему об условиях применимости и условия окончания итераций. Одну из этих теорем доказать.
[16], гл.2, п. п. 2.1, 2.2, 2.4.
18. Прямые и итерационные методы решения линейных систем. Метод Гаусса. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации.
Основное содержание
Задача решения линейной алгебраической системы, ее актуальность в вычислительной математике. Методы решения линейных систем и их сферы применения. Задача решения линейной системы в матрично-векторной форме, определения элементарных преобразований и их свойства. Применение элементарных преобразований и метод Гаусса. Алгоритм метода Гаусса с выбором главных элементов в столбцах. Определение абсолютной погрешности приближенного значения величины в метрическом пространстве. Метод последовательных приближений. Определения фундаментальной последовательности, полного метрического пространства, сжимающего отображения и неподвижной точки. Теорема о принципе сжимающих отображений и ее использование для получения приближенных решений операторного уравнения 
. Принцип сжимающих отображений при построении метода простой итерации для решения линейных систем. Алгоритм метода простой итерации. Теорема с достаточными условиями применимости метода простой итерации.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
