Брянский государственный университет
имени академика
Программа
вступительного экзамена по прикладной математике и информатике.
Направление магистратуры «Прикладная математика и информатика», магистерская программа «Прикладные интернет технологии»
Пояснительная записка
Программа вступительного экзамена по прикладной математике составлена в соответствии с государственным образовательными стандартами специальности “Прикладная математика и информатика”, направления “Математика. Компьютерные науки” и на основе оценочных и диагностических средств для итоговой государственной аттестации выпускников вузов, утвержденной Советом УМО по классическому университетскому образованию.
I. Первые теоретические вопросы билетов
1. Предел и непрерывность функции одной переменной. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Основное содержание.
Определение и свойства пределов функций одной переменной. Определение функции, непрерывной в точке и на множестве. Теоремы Вейерштрасса и Больцано – Коши.
[17] гл. 3-4, [19] гл. 3-4,[20] гл. 1, § 5.
2. Производная и дифференциал функции одной переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
Основное содержание.
Определение дифференцируемости функций одной переменной. Необходимые условия дифференцируемости. Дифференциал. Геометрический смысл Достаточные условия дифференцируемости. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Кощи.
[17] гл. 5, [19] гл. 5, [20] гл. 1, §9, §10.
3. Первообразная. Неопределенный интеграл.
Основное содержание.
Определение неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования.
[17], гл. 10, [19], гл. 6, [20], гл. 2, § 23-§ 26.
4. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
Основное содержание.
Определение и свойства определенного интеграла, его геометрический смысл. Суммы Дарбу, критерий интегрируемости. Интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.
[17] гл. 10, [19] гл. 6, [20] гл. 2, §23 - §26.
5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функций одной и нескольких переменных.
Основное содержание.
Теорема о разложении функции одной переменной по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Дифференциальная форма записи формулы Тейлора. Формула Тейлора для функций двух пе-ременных.
[17] гл. 14, [19] гл. 8, [21] гл. 5, §39.
6. Дифференцируемые функции нескольких переменных.
Основное содержание.
Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Теорема о равенстве смешанных производных.
[17] гл. 5, [19] гл. 5, [20] гл. 1, §9, §10.
7. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости Даламбера,
интегральный, Лейбница.
Основное содержание.
Определение ряда и его суммы. Критерий сходимости. Сравнение числовых рядов. Признак Даламбера, интегральный признак. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
[17] гл. 12, [21] гл. 4, §34
8. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
Основное содержание.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля для степенного ряда действительного и комплексного аргумента. Радиус, интервал и круг сходимости. Свойства суммы степенного ряда внутри интервала (круга) сходимости.
[22] гл. 4
9. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Теоремы о не-
прерывности суммы ряда.
Основное содержание.
Функциональные последовательности. Сходимость и равномерная сходимость. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся последовательности. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности суммы ряда.
[18] гл. 1, [21] гл. 4, §36.
10. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Сходимость ряда Фурье.
Основное содержание.
Ортогональные и ортонормированные системы элементов в евклидовом пространстве. Ряд Фурье. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Условие сходимости ряда Фурье к порождающему его элементу по норме евклидова пространства.
[18] гл. 10.
11. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций. Интеграл Дирихле. Сходимость ряда Фурье.
Основное содержание.
Ортогональная тригонометрическая система функций на отрезке [-p, p]. Тригонометрический ряд Фурье, формулы для его коэффициентов. Формула для вычисления частичной суммы ряда Фурье, интеграл Дирихле. Теорема о сходимости ряда Фурье к порождающей его функции.
[18] гл. 10.
12. Криволинейный и двойной интеграл. Формула Грина.
Основное содержание.
Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Определение и свойства двойного интеграла, его геометрический смысл. Формула сведения двойного интеграла к повторному. Формула Грина. Формулы вычисления площадей плоских фигур через криволинейный интеграл второго рода.
[18] гл. 2, гл 4, гл 7, [21] гл. 6, §44, §47.
13. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача и теорема Коши. Основные типы
уравнений 1-го порядка.
Основное содержание.
Уравнения, разрешенные относительно производной, дифференциальная форма записи. Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения. Задача и теорема Коши. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним. Уравнения в полных дифференциалах, линейные, Бернулли.
[24] гл. 2, гл. 3, §15 - §17, [25] гл.1, §1 - §5, [26] гл.3.
14. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.
Основное содержание.
Линейные однородные уравнения n-го порядка. Теорема Коши. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Условие линейной зависимости системы функций. Свойство вронскиана системы из n решений линейного однородного дифуравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений. Общее решение. Линейные неоднородные дифуравнения n-го порядка. Вид общего решения.
[24] гл. 5, гл 6, [25] гл.4, §1 - §3, [26] гл.3, §1 - §7.
15. Мощность множества.
Основное содержание.
Определение счетного множества. Основные свойства счетных множеств. Счетность рациональных чисел.
[27, 28] гл. 4
16. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши – Римана. Аналитическая функция.
Основное содержание.
Комплекснозначные функции комплексного аргумента, предел, непрерывность, дифференцируемость. Критерий дифференцируемости, условия Коши – Римана. Функции, аналитические в точке и на мно-жестве. Криволинейный интеграл от аналитической функции.
[22] гл. 2, гл. 6.
17. Комплексный интеграл.
Основное содержание.
Сведение комплексного интеграла к криволинейным интегралам 2 рода.
[22] гл. 7
18. Интегральная теорема Коши и формула Коши. Теорема о разложимости аналитической функции в степенной ряд.
Основное содержание.
Интегральные формулы Коши для аналитической функции и ее производных. Теорема о разложимости аналитической функции в степенной ряд. Оценка величины радиуса сходимости такого ряда.
[22] гл. 6
19. Гармонические функции. Теорема о среднем, принцип максимума модуля.
Основное содержание.
Основная формула Грина для гармонической функции. Формула Грина для значения гармонической функции в центре сферы, теорема о среднем. Принцип максимального (минимального) значения. Принцип максимума модуля.
[23] гл. 4, §2
20. Тройной интеграл. Формула Остроградского – Гаусса.
Основное содержание.
Определение и свойства тройного интеграла, его механический смысл. Формула сведения тройного интеграла к кратному. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского – Гаусса.
[18] гл. 2, гл 5, гл 7, [21] гл. 6, §44, §51, §52.
Литература
1. , Позняк математического анализа. Ч.1. – М.: Наука, 1982.
2. , Позняк математического анализа. Ч.2. – М.: Наука, 1980.
3. Кудрявцев математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1981.
4. Кудрявцев математического анализа. Т.2. – М.: Высшая школа, 1981.
5. Фихтенгольц математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1960.
6. Фихтенгольц математического анализа. Т.2. – М.: Наука, 1964.
7. , , Лащенов математического анализа. Т.1 – М.: Просвещение, 1972.
8. , , Лащенов математического анализа. Т.2 – М.: Просвещение, 1972.
9. и др. Ряды. – М.: Просвещение, 1982.
10. , , Петров анализ. Теория аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985.
11. , , Петров анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. – М.: Просвещение, 1980.
12. , , Сафонов уравнения. – М.: Просвещение, 1984.
13. Натансон функций вещественной переменной. – М.: Наука,1974.
14. Привалов в теорию функций комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1999.
15. Макаров главы математического анализа. – М.: Просвещение, 1968.
16. Соболев по дополнительным главам математического анализа. – М.: Наука, 1968.
II. Вторые теоретические вопросы билетов
1. Бинарные отношения, отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество.
Основное содержание
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
