Теория автоматов. Часть 3. Арифметика ЭВМ (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики

(Технический университет)

Кафедра «Вычислительные

системы и сети»

Теория автоматов

Часть 3

Арифметика ЭВМ

Учебное пособие

Москва 2010

Составитель: доц.,канд. техн. наук

Рецензент: доц.,канд. техн. наук

Учебное пособие по дисциплине «Теория автоматов: Часть 3/ МГИЭМ»;

Сост. М., 2010.

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЦВМ

§1.1 Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для наименования и записи чисел. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения (позиции) в числе. Примером непозиционной системы может служить римская система счисления.

В позиционных системах счисления значение каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в числе.

Запись произвольного числа в позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

x=an Pn +an-1Pn-1+…+a1P1+a0P0+a-1P-1+…+a-mP-m (1.1)

Здесь:

Р - основание системы. Это число единиц какого-либо разряда, образующих одну единицу более старшего разряда;

ai- знаки (цифры), используемые для записи чисел;

m - количество разрядов справа от запятой;

n+1 - количество разрядов слева от запятой.

Сокращенная запись этого выражения, представляющая перечисление коэффициентов этого полинома

x=anan-1…ai…a1a0,a-1…a-m

есть изображение числа x в Р-ичной системе.

Принцип построения позиционных систем проще всего проиллюстрировать на примере хорошо известной десятичной системы счисления.

В этой системе для записи любых чисел используется десять различных символов (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Эти символы введены для обозначения десяти последовательных целых чисел, начиная с нуля и кончая девятью. Десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда. Это означает, что единица каждого старшего разряда в десять раз больше единицы предыдущего младшего разряда, т. е. значение каждой из цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Например, в записи числа 535.5 цифра 5 повторена трижды. Самая левая цифра 5 означает количество сотен, цифра 5, стоящая перед запятой, означает количество единиц, а самая правая цифра - количество десятых долей единицы. Таким образом, число 535.5 представляет сокращенную запись выражения

5·102 + 3·I01 + 5·100 + 5·10-1

Аналогичным образом запись произвольного десятичного числа в виде последовательности цифр

anan-1…a1a0,a-1…a-m

основана на представлении этого числа в виде полинома

x=an ·10n +an-1 ·10n-1+…+a1 ·101+a0 ·100+a-1 ·10-1+…+a-m ·10-m

Десятичная система является самой распространенной, но не единственной возможной позиционной системой счисления. В качестве основания системы может быть принято любое целое число, большее единицы (Р > 1). Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, при этом нужно пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном конкретном основании.

§1.2 Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используется восемь различных цифр 0,1,2,3,4,5,6,7. Запись произвольного числа в этой системе счисления основывается на его разложении по степеням числа 8:

x=an ·8n +an-1 ·8n-1+…+a1 ·81+a0 ·80+a-1 ·8-1+…+a-m ·8-m

Так десятичное число79,5 в восьмеричной системе изображается в виде 117,4, что следует из разложения

1·82+1·81+7·80+4·8-1=64+8+7+4/8=79,5

Арифметические операции в восьмеричной системе производятся на основании таблиц сложения (табл. 1.1) и умножения (табл. 1.2).

Таблица 1.1

+	0	1	2	3	4	5	6	7	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10	11
2	2	3	4	5	6	7	10	11	12
3	3	4	5	6	7	10	11	12	13
4	4	5	6	7	10	11	12	13	14
5	5	6	7	10	11	12	13	14	15
6	6	7	10	11	12	13	14	15	16
7	7	10	11	12	13	14	15	16	17
10	10	11	12	13	14	15	16	17	20

Таблица 1.2

×	0	1	2	3	4	5	6	7	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	10
2	0	2	4	6	10	12	14	16	20
3	0	3	6	11	14	17	22	25	30
4	0	4	10	14	20	24	30	34	40
5	0	5	12	17	24	31	36	43	50
6	0	6	14	22	30	36	44	52	60
7	0	7	16	25	34	43	52	61	70
10	0	10	20	30	40	50	60	70	100

Пример 1.1 Сложение

327.71102

35.67735

365.61037

Пример 1.2 Вычитание

11076.01

705.62

10170.17

Пример 1.3 Умножение

173.261

16.35

1150565

562023

1344046

173261

3366.356615

Пример 1.4 Деление

336656.615	1635
1635	173.261
15315
14513
6026
5327
4776
3472
13041
12656
1635
1635
0000

§1.3. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления для изображения любого числа использует всего две цифры: 0 и 1.