Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 2 )

ТЕОРЕМА.

Пусть Тогда

Доказательство. Пусть, как и раньше,

Сначала докажем необходимость. Заметим, что

Так как

, то

Но откуда по аксиоме непрерывности

Достаточность. Пусть нет стремления почти наверное. Тогда

и значит

что будет означать, что не сходится к нулю по вероятности. Полученное противоречие полностью доказывает теорему.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если стремится к по вероятности, образуя монотонную (по n) последовательность, то .

Это очевидно, т. к. здесь

СЛЕДСТВИЕ 2. (критерий сходимости почти наверное).

Если

то

Доказательство сразу следует из того, что

при как остаток сходящегося ряда.

2. Слабая сходимость

Введенные выше виды сходимости нуждаются, к сожалению, в задании пар рассматриваемых случайных величин на одном вероятностном пространстве. Это не всегда удобно, поэтому хотелось бы определить такой вид сходимости, которая определялась бы лишь функциями распределения, что мы сейчас и сделаем.

Говорят, что последовательность случайных величин сходится к по распределению (или их функции распределения сходятся к предельной слабо), если для произвольной непрерывной ограниченной функции H(x) имеет место сходимость

Речь в этом определении идет именно о сходимости распределений, а не самих случайных величин, и никаких построений на одном вероятностном пространстве не требуется. Записывают

или

ТЕОРЕМА (эквивалентное определение слабой сходимости).

­­ – точки непрерывности ).

Доказательство. Необходимость. Пусть ­­ – произвольная точка непрерывности F. Рассмотрим непрерывную функцию

Очевидно, что

откуда

и, в силу того, что выполнено определение слабой сходимости для , для достаточно больших n получим

откуда, в силу произвольности и непрерывности F в точке ,

Если же рассмотреть другую непрерывную функцию

то аналогичным образом

Отсюда

и, окончательно, мы получаем, что последовательность имеет предел, равный .

Достаточность. Сначала отметим, что точек непрерывности у произвольной функции распределения достаточно много – в силу того, что F монотонна и ограничена, у неё может быть не более чем счетное число разрывов. Поэтому всегда можно выбрать L так, чтобы L и -L были бы точками непрерывности F и при этом F(­­ – L)< , а также . Отсюда и из условий теоремы следует, что при всех достаточно больших n

Пусть теперь H – произвольная ограниченная непрерывная функция. Без ограничения общности можно считать, что

Заметим, что если

то справедлива цепочка неравенств

и, аналогичным образом,

Тем самым, можно без ограничения общности считать, что H(x)=0 вне интервала , а значит, равномерно непрерывна. По построим такое , что и разобьем отрезок конечным числом точек непрерывности F

с условием Итак, функция

обладает тем свойством, что

и имеет скачки только в точках непрерывности F. Окончательно,

и, по построению точек разбиения,

В силу произвольности теорема доказана.

ТЕОРЕМА (сходимость по вероятности влечет слабую).

Доказательство. Пусть H – произвольная непрерывная ограниченная функция. Будем без ограничения общности считать, что она ограничена единицей. Выберем L так, чтобы Тогда, поскольку имеет место сходимость по вероятности, то при достаточно больших n

Теперь, так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно считать, что H равна 0 вне интервала , и по мы можем выбрать , исходя из определения равномерной непрерывности.

Обозначим

тогда

В силу произвольности и того факта, что вероятность в правой части последнего неравенства стремится к 0, доказательство теоремы закончено.

Естественно, что об обратном утверждении говорить не имеет смысла, поскольку сходимость по вероятности предполагает построения на одном вероятностном пространстве. Однако один важный частный случай мы рассмотрим.