Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 4 )

ТЕОРЕМА (единственности). Любой характеристической функции соответствует ровно одна функция распределения F.

Доказательство. Если нам задано , то согласно формуле обращения нам известны все разности вида F(x) – F(y), где x, y – точки непрерывности F. Выберем последовательность точек непрерывности (это возможно, поскольку точек разрыва у F не более, чем счетное число). Тогда

и мы, тем самым, знаем значения F во всех ее точках непрерывности. Пусть, наконец, x0 – точка разрыва. Выберем последовательность точек непрерывности так, чтобы . В силу непрерывности F слева, получим

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Любая функция распределения однозначно определяется своими разностями вида F(x) – F(y), где x, y – ее точки непрерывности.

2. Примеры

а). Вырожденное распределение Ia имеет характеристическую функцию

б). Распределение Пуассона

Рассмотрим небольшую иллюстрацию возможности применения аппарата характеристических функций, связанную с этим примером. Пусть имеет распределение , имеет распределение и они независимы. Тогда, согласно свойству 3 и примеру б),

Поскольку перед нами х. ф. , то в силу теоремы единственности, имеет пуассоновское распределение с параметром .

в). Равномерное распределение

Если a= – b, то, учитывая соотношение , получаем

и принимает лишь действительные значения.

Следующие два примера подробно рассмотрены в [2]:

г). имеет распределение

имеет распределение

д). имеет распределение

3. Основная теорема о характеристических функциях

Следующая теорема делает аппарат характеристических функций особенно удобным для получения предельных теорем.

ТЕОРЕМА. Пусть , – случайные величины, , – характеристические функции их распределений. Тогда

Доказательство. Необходимость. Поскольку для произвольного фиксированного t функции sin tx, cos tx ограничены и непрерывны, то по определению слабой сходимости

Достаточность. Рассмотрим вспомогательную последовательность случайных величин , , имеющих одинаковые распределения и не зависящих от , соответственно. Параметр подберем позднее. Положим

,

и пусть , – функции распределения, , – характеристические функции распределений введенных случайных величин. Очевидно, что

,

причем , непрерывны в силу свойств свертки. Следовательно, по формуле обращения,

Поскольку имеют место оценки

то в качестве интегрируемой мажоранты подынтегрального выражения, не зависящей от n, можно взять

и мы имеем право перейти к пределу при под знаком интеграла. Применив еще раз формулу обращения (на этот раз для ), получим:

откуда, в силу следствия теоремы единственности,

Запишем

где – некоторое достаточно малое положительное число. При этом

поскольку

Согласно неравенству Чебышева,

Значит, из следует

Оценим снизу:

При этом

Следовательно,

Выбирая , запишем

Очевидно, последнее двойное неравенство доказывается дословно так же, как первое, только всюду надо заменить на . Привлекая доказанные неравенства и сходимость , получим

Из последних двух неравенств, произвольности и того, что – точка непрерывности, следует, что существует