Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 3 )

ТЕОРЕМА (о слабой сходимости к константе).

Доказательство. Зафиксируем . Поскольку – точки непрерывности предельной функции распределения F, причём

то по теореме об эквивалентном определении слабой сходимости,

Теорема доказана.

3. Теоремы непрерывности

ТЕОРЕМА 1. Пусть , H непрерывна. Тогда

Доказательство. Очевидно в силу того, что

а вероятность последнего события единица.

ТЕОРЕМА 2. Пусть H – непрерывная функция, Тогда

Доказательство. Положим

Тогда

Очевидно, можно выбрать L так, чтобы Поскольку при достаточно больших n выполнено то

А, следовательно, без ограничения общности можно считать, что H равна нулю вне интервала и, выбирая по соответствующее , получим, что

что завершает доказательство, ведь последняя вероятность стремится к нулю.

ТЕОРЕМА 3. Если f непрерывная функция, , то

Это очевидно, поскольку если H – непрерывная ограниченная функция, то композиция также непрерывна и ограничена.

ТЕОРЕМА 4. Если , , и все они заданы на одном вероятностном пространстве, то

Утверждение теоремы сразу следует из того, что

а пересечение двух событий вероятности 1 снова обладает вероятностью 1.

ТЕОРЕМА 5. Если , , и все они заданы на одном вероятностном пространстве, то

Доказательство:

а обе вероятности справа стремятся к нулю.

ТЕОРЕМА 6. Если , то

Здесь достаточно сослаться на определение слабой сходимости и тот факт, что если H(x) – непрерывная ограниченная функция, то H(x+a) и H(ax) также являются таковыми. См. также теорему 3.

ГЛАВА II

Характеристические функции

1. Определение и простейшие свойства

Пусть – вероятностное пространство, C – поле комплексных чисел. Отображение С называется комплекснозначным случайным элементом, если Re и Im – случайные величины. Рассмотрим комплекснозначный случайный элемент . По определению полагают

Нетрудно проверить, что определенный этим соотношением оператор математического ожидания M обладает набором всех обычных свойств, в частности

независимы

Докажем, например, последнее неравенство. Пусть Тогда

Заметим далее, что

(было использовано неравенство Коши-Буняковского). Итак,

Если то доказываемое неравенство очевидно, иначе, сокращая обе части последнего неравенства на , получаем требуемое.

Пусть теперь – случайная величина. Характеристическая функция (х. ф.) ее распределения – это функция действительного аргумента

Очевидно, что для абсолютно непрерывного распределения с плотностью p

а для дискретного

Выпишем некоторые свойства х. ф.:

1. определена для произвольного распределения;

Доказательство сразу следует из того, что

и доказанного выше неравенства для математического ожидания комплекснозначного случайного элемента.

2.

3. Если независимы, то

Последние два свойства очевидны – стоит лишь записать определения левых и правых частей утверждаемых равенств. Свойство 3 иногда читают так: х. ф. свертки равна произведению х. ф.

4. Если , то характеристическая функция распределения ξ n раз дифференцируема, причем

Доказательство нетрудно проводится индукцией по n с использованием в качестве индукционного предположения формулы

и привлечением теоремы Лебега о возможности дифференцирования несобственного интеграла по параметру.

Непосредственным следствием свойства 4 и формулы Маклорена является

5. Если , то

ТЕОРЕМА (формула обращения). Пусть – х. ф., F – соответствующая ей функция распределения. Тогда для произвольных x, y, являющихся точками непрерывности F, выполнено

Доказательство этой теоремы можно найти в [1, с.301-304]. Там же доказано

СЛЕДСТВИЕ. Если интегрируема, то F имеет плотность распределения f, причем