Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 5 )

Теорема доказана.

4. Характеристические функции многомерных распределений

Пусть – n-мерный случайный вектор-столбец. Функция

где символом обозначено скалярное произведение, называется характеристической функцией . Следующие свойства многомерных х. ф. обобщают соответствующие свойства х. ф. одномерных.

1). , где – вектор с нулевыми координатами.

2). Если A – постоянная матрица, b – постоянный вектор, то

Действительно,

3). Если , то k раз дифференцируема, причем для произвольного мультииндекса размерности n, такого, что имеет место

4) Если , то

Последние два свойства доказываются полностью аналогично соответствующим одномерным. Следующее свойство приведем без доказательства.

5). Каждой многомерной функции распределения соответствует одна и только одна характеристическая функция.

6). Пусть – случайный вектор, – его координаты, – вектор, у которого j-я координата равна t, а остальные нулю, – х. ф. соответственно. Тогда

Для доказательства достаточно заметить, что

7). Пусть – случайный вектор, – его координаты, t – вектор с координатами . Координаты независимы тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если независимы, то

Обратно, поскольку х. ф. совместного распределения координат совпадает с произведением их х. ф., то она совпадает с х. ф. распределения, имеющего независимые координаты (уже доказано), а это по свойству 5 означает, что и координаты независимы.

ГЛАВА III

Законы больших чисел

Пусть – последовательность случайных величин,

Говорят, что выполнен закон больших чисел(ЗБЧ), если

при ,

и усиленный закон больших чисел (УЗБЧ), если

при .

ТЕОРЕМА (ЗБЧ ). Если независимы и , то выполнен ЗБЧ.

Доказательство. Поскольку при каждом

то при

что и утверждалось.

Нетрудно заметить, что условие независимости использовалось в доказательстве только при переходе от дисперсии суммы к сумме дисперсий. Значит, следующая теорема уже не требует независимости величин.

ТЕОРЕМА (ЗБЧ ). Если , то выполнен ЗБЧ.

ТЕОРЕМА (ЗБЧ ). Если независимы и , то выполнен ЗБЧ.

Доказательство. Пусть – х. ф. . Тогда имеем

Поскольку

то

Применяя теорему о слабой сходимости к константе и теорему непрерывности 2, завершаем доказательство.

Простым следствием теоремы Хинчина является закон больших чисел для схемы Бернулли:

ТЕОРЕМА (ЗБЧ Бернулли). Пусть имеет распределение . Тогда при .

Доказательство. Имеет место представление

где все имеют одно и то же распределение Бернулли и независимы. При этом Остальное сразу следует из ЗБЧ Хинчина.

были доказаны теоремы, полностью перекрывающие результаты, сформулированные и доказанные выше.

ТЕОРЕМА (Первый УЗБЧ Колмогорова). Если независимы и одинаково распределены, то выполнен УЗБЧ.

ТЕОРЕМА (Второй УЗБЧ Колмогорова). Если независимы, и ряд сходится, то выполнен УЗБЧ.

Выписанное условие сходимости ряда носит название условия Колмогорова. Мы не будем доказывать эти теоремы. Докажем вместо этого следующий более слабый (но и более просто доказываемый) результат.

ТЕОРЕМА . (УЗБЧ). Пусть независимы и одинаково распределены, причем Тогда выполнен УЗБЧ.

Для того, чтобы доказать эту теорему, нам потребуются две нижеследующие леммы:

ЛЕММА I.

Действительно, согласно неравенству Чебышева

Осталось лишь заметить, что

ЛЕММА II. Пусть случайные величины X1,...,Xn независимы, одинаково распределены,

Тогда

Для доказательства заметим, что

Поскольку независимы, это означает, что

Лемма доказана.

Докажем теорему. Пусть . Применяя лемму I и лемму II при , имеем