Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (2)

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Методические указания

Барнаул

Издательство Алтайского государственного университета

2013

Составитель:

канд. физ.-мат. наук

Рецензент

канд. физ.-мат. наук

Методические указания предназначены для самостоятельной подготовки студентов 2-го курса математического факультета по теме «Предельные теоремы» курса теории вероятностей. Содержат изложение теории и задачи для самостоятельного решения.

План УМД 2013 г., п.

Подписано в печать 2012 . Формат 60х84/16.

Усл. Печ. л. Тираж 100 экз. Заказ

Типография Алтайского государственного университета:

656049, Барна

Введение

1. Зачем нужны предельные теоремы

Любое более или менее сложное случайное явление формируется под воздействием большого количества факторов, которые, в свою очередь, являются случайными. В особенно важном частном случае влияние этих факторов суммируется, и они являются независимыми. Таковыми, например, являются результаты всех измерений.

Как мы увидим в следующем пункте, точный расчет вероятностей, связанный с суммами даже небольшого числа случайных величин, представляет собой достаточно сложную задачу. Если же мы сумеем доказать, что при

то при больших значениях n можно использовать приближенное равенство

Эта формула дает методику применения большинства предельных теорем и указывает на их практическую полезность.

2. Распределение суммы. Свертка

Рассмотрим сумму двух случайных величин. Пусть сначала они дискретны.

если только и независимы. Сумма в этой формуле берется по всем различным значениям yk, которые может принимать .

Если же вектор имеет плотность распределения f(x, y), то

где f1, f2 – плотности распределений , соответственно, причем здесь мы вновь предположили, что и независимы. Итак, плотность распределения суммы независимых абсолютно непрерывных случайных величин имеет вид

Вообще, предпоследнюю формулу можно записать в виде

В дальнейшем, при построении интеграла Лебега-Стилтьеса, мы придадим этой формуле смысл при произвольных функциях распределения (не обязательно абсолютно непрерывных). Эта формула носит название формулы cвертки. Коротко записывают

Рассмотрим свойства свертки.

I. Для произвольных функций распределения F и G

Это свойство очевидно, т. к. распределения и совпадают.

II. Если хотя бы одна из F, G имеет плотность распределения, то и также имеет плотность.

Для доказательства предположим, что F имеет плотность f. Тогда

а, следовательно, выражение в скобках представляет собой вариант искомой плотности.

Заметим, наконец, что распределение суммы n независимых случайных величин представляет собой (n-1)-кратную свертку их распределений, т. е., для ее расчета потребуется (n-1)-кратный интеграл.

ГЛАВА I

Сходимости последовательностей случайных величин

1. Сходимость почти наверное и по вероятности

Пусть – вероятностное пространство, , ­­ – случайные величины на нем. Говорят, что сходится к почти наверное (или с вероятностью единица), если

Записывают это так:

Говорят, что сходится к по вероятности, если

В этом случае записывают

ТЕОРЕМА.

Доказательство. Обозначим

Пусть не сходится к по вероятности. Это значит, что

Положим

Заметим, что при произвольном n справедливо , и пусть

Из аксиомы непрерывности вероятности следует, что Наконец,

что означает, что . Итак, , откуда

Полученное противоречие доказывает теорему.

Обратное, вообще говоря, неверно. Приведем соответствующий пример. Пусть вероятность P на нем – мера Лебега, событиями являются все измеримые подмножества . Построим сначала вспомогательную последовательность

Очевидно, что

k

и если то выполняется соотношение

Определим теперь две функции натурального аргумента

Очевидно, что при . (– индексы n-й по порядку случайной величины ). Положим

В силу имеем . Но из следует, что не стремится к нулю ни для одного , а значит и подавно не стремится к нулю почти наверное.