Теория вероятностей (2) предельные теоремы (стр. 6 )

Поскольку ряд сходится, то, согласно критерию сходимости почти наверное (следствие 2 п.1 гл.1) имеем

Теорема доказана.

ГЛАВА IV

Центральная предельная теорема

Пусть – последовательность случайных величин,

Говорят, что выполнена центральная предельная теорема (ЦПТ), если

при ,

где имеет стандартное нормальное распределение.

ТЕОРЕМА (ЦПТ П. Леви). Пусть независимы, одинаково распределены, причем . Тогда выполнена ЦПТ.

Доказательство. Очевидно, что без ограничения общности можно считать, что a=0. Пусть – х. ф. . Тогда

Поскольку в нашем частном случае , рассмотрим

Осталось применить основную теорему о характеристических функциях.

Частным случаем доказанной теоремы является

ТЕОРЕМА (интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа).

Пусть имеет распределение . Тогда

при

Действительно, достаточно лишь, как и при доказательстве ЗБЧ Бернулли, представить в виде суммы независимых бернуллиевских случайных величин, применить теорему Леви и эквивалентное определение слабой сходимости. При этом, конечно же, следует использовать то, что предельная функция распределения непрерывна во всех точках.

В разнораспределенном случае дело обстоит существенно сложнее.

ТЕОРЕМА (ЦПТ Линдеберга-Феллера).

Пусть независимы и выполнено условие Линдеберга:

Тогда справедлива ЦПТ.

Доказательство можно найти в [1, с.350-353]. Вообще, условие Линдеберга, хотя и очень близкое к необходимому и достаточному, на практике весьма трудно проверять, поэтому чаще применяется

ТЕОРЕМА (ЦПТ Ляпунова). Пусть независимы и выполнено

условие Ляпунова

при .

Тогда выполнена ЦПТ.

Доказательство. Зафиксируем и заметим, что

откуда следует, что если выполнено условие Ляпунова, то условие Линдеберга также имеет место. Теорема доказана.

Смысл рассмотренных условий Линдеберга и Ляпунова состоит в том, что они обеспечивают малость каждого отдельного слагаемого в Sn по сравнению со всей суммой.

ТЕОРЕМА (вероятностный смысл условия Линдеберга).

Пусть выполнено условие Линдеберга. Тогда справедливо условие

при ,

называемое условием бесконечной малости дисперсий (УБМД) .

Доказательство. Возьмем произвольное k. Тогда

Первая часть этого неравенства не зависит от k, следовательно

В силу того, что произвольно и , доказательство завершено.

Условие УБМД можно интерпретировать, как равномерную малость изменчивости каждой из случайных величин по сравнению с их суммой. Поэтому смысл условия Линдеберга состоит в примерном равноправии всех суммируемых случайных величин.

Теперь мы можем сформулировать вариант центральной предельной теоремы в необходимой и достаточной форме, окончательно полученный В. Феллером в 1948 г.

ТЕОРЕМА. Пусть независимы. Условие Линдеберга справедливо тогда и только тогда, когда имеет место ЦПТ и вместе с ней выполнено условие УРБМ.

Доказательства этой теоремы мы здесь не приводим. Его можно найти в учебнике М. Лоэва [3].

СЛЕДСТВИЕ. Если для независимых случайных величин справедлива ЦПТ, то обязательно

Задачи на предельные теоремы теории вероятностей

1.  В результате медицинского осмотра 900 призывников установлено, что их средний вес на 1,2 кг больше аналогичной характеристики призывников прошлого года. Можно ли это отклонение объяснить случайностью, если среднее квадратическое отклонение веса призывников постоянно и равно 8 кг?

2.  Каждая из независимых случайных величин подчиняется следующему закону распределения

	0

Проверить условие теоремы Ляпунова для этой последовательности.

3.  Дана последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых растут в а) арифметической; б) геометрической прогрессии. Справедлива ли для таких величин ЦПТ?

4.  Пусть случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ. Доказать, используя аппарат характеристических функций, что сходится по распределению к стандартному нормальному закону, если .

5.  Известно, что ряд, составленный из параметров распределений Пуассона, которым подчиняются независимые случайные величины, расходится. Доказать, что для них справедлива ЦПТ.

6.  Используя результат задачи 4, вычислить

7.  Пусть Обязательно ли тогда ?

8.  Дано . Доказать, что

9.  Известно, что функция f(x) имеет производную в точке 0, а также . Доказать в этом предположении, что

10.  Для последовательности случайных величин имеет место сходимость к предельной величине ξ в среднем квадратическом: Считая, что все определены и конечны, доказать существование и конечность , а также справедливость утверждения

11.  Пусть для последовательности случайных величин выполнено Обязательно ли для любой константы a верно, что

12.  Говорят, что последовательность неотрицательных случайных величин с конечными математическими ожиданиями и функциями распределения сходится к нулю по Хинчину, если

Докажите, что из этой сходимости следует справедливость

Библиографический список

1.  Ширяев . – М.: Наука, 1980. – 576 с.

2.  Распределения, связанные с нормальным: метод. указания. – Барнаул.: изд. АлТГУ, 2007. – 32 с.

3.  Теория вероятностей. – М.: Изд.-во Иностранной литературы, 1962. – 600 с.