Тема 5. Постоянный электрический ток (стр. 4 )

Это равенство получено для цилиндрического проводника, в каждой точке которого напряженность поля и плотность тока одинаковы. Поскольку и напряженность, и плотность тока в различных точках проводника могут иметь разные значения, последнее уравнение можно рассматривать как закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

5.7. Правила Кирхгофа

Эти правила особенно удобны при расчете разветвленных электрических цепей с несколькими источниками тока. Цепь называется разветвленной, если она содержит узлы – точки, где сходятся больше двух проводников. Элемент цепи между двумя соседними узлами называется участком; задача заключается в вычислении силы тока во всех участках цепи по известным значениям э. д.с. источников и сопротивлениям всех резисторов.

Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, проходящих через узел, равна нулю. По существу, это правило представляет собой условие постоянства тока: распределение электрических зарядов по узлам должно оставаться неизменным. Второе правило фактически представляет собой обобщенный закон Ома для цепи: алгебраическая сумма э. д.с. источников тока в каждом контуре, выделенном в цепи, равна алгебраической сумме напряжений на каждом резисторе этого контура, включая внутренние сопротивления источников. Расчет цепи производится следующим образом.

1. Пересчитываются все узлы и все участки цепи. Если количество узлов равно , составляются уравнений по первому правилу Кирхгофа. При этом направления токов в проводниках, сходящихся в каждом узле, выбирается произвольно и остается таковым до окончания решения задачи. Сила тока, входящего в узел, считается положительной, выходящего из узла – отрицательной.

2. Если количество участков равно , составляются уравнений по второму правилу Кирхгофа (понятно, что суммарное число уравнений по первому и второму правилу должно быть равно количеству участков). Для этого в цепи выделяется контуров и устанавливается одинаковое для всех направление их обхода – по часовой либо против часовой стрелки. При этом в каждом контуре должен быть хотя бы один участок, который не включен в остальные контуры. Если направление тока на определенном участке контура совпадает с выбранным направлением обхода, суммарное напряжение на резисторах этого участка (если таковые имеются) считается положительным, в противном случае – отрицательным. Если при выбранном направлении обхода источники тока (если таковые имеются) проходится с повышением потенциала, их э. д.с. считается положительной, в противном случае – отрицательной.

3. Решаются совместно уравнений. Если в результате решения сила тока на некотором участке получается отрицательной, это означает то, что направление тока на нем выбрано неверно (задача № 56.6 из сб. ).

5.8. Классическая теория электропроводности металлов

Металлы характеризуются высокой проводимостью, что обусловлено высокой концентрацией в них свободных электронов. Классическая теория электропроводности была развита в 1900 г. в работах немецкого физика Друде и голландца Лоренца. Они исходили из того, что электроны проводимости в металле представляют собой газ, по своим свойствам близкий к идеальному. Концентрация свободных электронов по порядку величины равна концентрации атомов (1028…1029 1/м3). В отсутствие внешнего электрического поля свободные электроны движутся хаотично между ионами металла, которые совершают тепловые колебания в узлах кристаллической решетки. Средняя скорость теплового движения может быть найдена по соответствующей формуле для идеального газа:

.

Оценки показывают, что при комнатной температуре м/с, средняя длина свободного пробега имеет величину порядка межатомного расстояния. При включении внешнего поля свободные электроны участвуют в упорядоченном движении (дрейфе) со скоростью порядка долей мм/с, создавая ток плотностью (здесь – скорость дрейфа).

В теории Друде-Лоренца считается, что при соударении с ионом электрон полностью передает ему свою кинетическую энергию. Поэтому средняя скорость дрейфа составляет половину максимальной скорости, которую приобретает электрон между двумя соударениями: .

Поскольку электрическое поле в проводнике однородно,

(здесь – среднее время пробега электрона между двумя соударениями).

Величину можно найти из очевидного равенства : , где – средняя скорость теплового движения электронов. Следовательно,

, . (5.7)

Из сопоставления последнего равенства с формулой видно, что

.

В конце свободного пробега каждый электрон приобретает среднюю кинетическую энергию

.

В результате неупругих столкновений эта энергия передается ионам металла,

что приводит к увеличению внутренней энергии и нагреванию проводника. Каждый электрон ежесекундно претерпевает столкновений; поэтому энергия тока, преобразующаяся за 1 с во внутреннюю энергию проводника единичного объема, равна

.

Величина представляет собой объемную плотность тепловой мощности тока, о которой уже говорилось ранее. Поскольку , ,

имеем:

. (5.8)

Легко видеть, что равенства (5.7) и (5.8) представляют собой закон Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

В 1853 г. был установлен закон Видемана-Франца, согласно которому для всех металлов отношение удельной теплопроводности и электропроводности одинаково и зависит от температуры по линейному закону:

(5.8А)

(здесь – коэффициент пропорциональности). Классическая теория Друде-Лоренца позволяет вывести этот закон в предположении, что перенос тепла в

металле осуществляется свободными электронами. Действительно, ранее

было показано, что коэффициент теплопроводности идеального газа

,где – плотность газа, – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Имеем:

, , , , (5.9)

где – молярная теплоемкость при постоянном объеме, – молярная масса, – масса электрона, – концентрация электронов, – постоянная Больцмана. С учетом (5.9) находим:

, .

Если вместо квадрата средней скорости использовать ее средний квадрат, имеем:

.

Из сопоставления этого равенства с (5.8А) видно, что .