Теория экономических игр (стр. 3 )

Посещение всех лекционных, практических и лабораторных занятий по курсу является обязательным. Перед каждым практическим занятием преподаватель указывает тему, по которой необходимо решить задачи (4-10 задач) и ответить на вопросы. На практическом занятии проверяется выполнение задач и обсуждается их решение. По итогам занятия отмечается результативность работы каждого студента (текущий контроль), которая затем учитывается при формировании итоговой оценки по курсу.

Обязательным элементом освоения курса является работа над итоговым проектом по курсу индивидуально или в составе группы в количестве до 3 человек. Группа должна быть сформирована ко второму практическому занятию. Проект предполагает применение методов теории игр для анализа конкретных ситуаций в социальной или экономической сферах или программную реализацию методов решения игр. Тема проекта должна быть определена самостоятельна и согласована с преподавателем не позднее прохождения 6 темы по тематическому плану данного УМК. Защита проектов осуществляется в виде презентаций (10-15 мин.) для всей студенческой группы в течение двух последних занятий.

Задачи для решения по темам курса приведены ниже.

Тема 1.

1. Как связана нижеследующая история с предпосылкой теории игр об «общем знании»? Ответьте на вопросы в конце этой истории? Восстановите логику рассуждений Алисы.

«Представим, что в купе вагона Викторианской эпохи находятся Боб и его племянница Алиса. У каждого испачкано лицо. Однако никто не краснеет от стыда, хотя любой Викторианский пассажир покраснел бы, зная, что другой человек видит его грязным. Отсюда мы делаем вывод, что никто из пассажиров не знает, что его лицо грязное, хотя каждый видит грязное лицо своего компаньона.

В это время в купе заглядывает Проводник и объявляет, что в вагоне находится человек с грязным лицом. После этого Алиса покраснела. Она поняла, что ее лицо испачкано. Но почему она поняла это? Разве проводник не сообщил то, что она уже знала?» (Данилов)

2. Ниже представлен усложненный вариант предыдущей истории. Как связана эта история о трех мудрецах с предпосылкой теории игр об «общем знании»?

На дороге сидят три мудреца, на каждом из которых надет колпак красного цвета. Каждый видит колпаки других, но не видит, какой колпак на нем. И каждому, чтобы показать свою проницательность, нужно угадать цвет своего колпака. Прохожий объявляет всем, что один из колпаков красного цвета. Тогда один из мудрецов понимает, что на нем красный колпак. (Данилов)

Восстановите логику рассуждений мудреца.

3. Рассмотрите следующую ситуацию как игру. Охарактеризуйте ее в терминах теории игр. Какого типа эта игра? Какое решение этой игры Вы можете предложить? Какое решение является оптимальным? Какие действия игроков Вы бы назвали рациональными? Исходя из данной ситуации, в чем заключается парадокс рациональности как основного постулата теории игр?

Один эксцентричный филантроп собирается подарить одному из двух городских университетов – Йелбриджа и Харфорда – миллиард долларов. Он приглашает президентов этих университетов, объявляет о своем решении и предлагает президенту Йелбриджа 1 доллар. Если он отказывается, филантроп предлагает президенту Харфорда 10 долларов. Если он не принимает предложение, филантроп предлагает президенту Йелбриджа 100 долларов и т. д. Когда закончится эта игра? (Данилов)

4. Можете ли Вы проследить аналогию между историей о филантропе с нижеследующей ситуацией?

Учительница объявила ученикам, что проведет им контрольную работу в один из будущих дней недели. Когда? – спросили ученики. Когда вы не ожидаете этого, - ответила учительница. Ученики решили, что это не может быть пятница, но тогда и не четверг, и т. д. В конце концов, они решили, что контрольной не будет, и не готовились. Но в понедельник учительница устроила контрольную, и для всех она оказалась неожиданной (Данилов).

В чем заключается рациональность учеников? В чем Вы видите парадокс рациональности?

5. Представить в нормальной и развернутой форме игру «борьба за рынки» с 3 игроками. Платежи установить самостоятельно. Проанализировать ситуацию. Предложить решение. Каким образом можно представить в нормальной и развернутой форме игру 4 и более игроков?

6. Проанализировать с позиций теории игр следующую ситуацию, связанную с соперничеством компаний в области технологического лидерства (Р. Фелькер). Платежи компаний представлены в таблице.

Предприятие 1 ранее обладало технологическим превосходством, но в настоящее время располагает меньшими финансовыми ресурсами для научных исследований и разработок (НИР), чем его конкурент. Оба предприятия должны решить вопрос, попытаться ли с помощью крупных капиталовложений добиться доминирующего положения на мировом рынке в соответствующей технологической области. Если оба конкурента вложат в дело крупные средства, то перспективы на успех у предприятия 1 будут лучше, хотя оно и понесет большие финансовые расходы (как и предприятие 2). В таблице эта ситуация представлена платежами с отрицательными значениями.

	Предприятие 2
	Неучастие в технологической конкуренции	Высокие затраты на НИР
Предприятие 1	Низкие затраты на НИР	0 3	3 0
Высокие затраты на НИР	0 1	-2 -1

Какое решение в чистых стратегиях Вы считаете оптимальным для Предприятия 1 и Предприятия 2? Объясните Ваше решение.

7. Предположим, что Вы выбираете стратегию, обеспечивающую равновесие по Нэшу.

а) Выбирая такую стратегию, знаете ли Вы, что выбрали остальные игроки?

б) Изменится ли Ваше решение, если Вы узнаете о реальных действиях остальных игроков?

8. Охарактеризуйте в терминах теории игр следующие прототипные игры:

а) «игра в орлянку»

б) «дилемма узников»

в) «семейный спор»

г) «встреча в Нью-Йорке»

Идентифицируйте правила этих игр, объем информации, доступный игрокам, критерии оптимальности, возможные решения. Определите «общее знание» этих игр. Что означает рациональность поведение игроков в этих играх? Действительно ли действия игроков рациональны? Какие решения этих игр Вы можете предложить? Как изменится решение при изменении платежей? Какие социально-экономические ситуации могут моделироваться этими играми?

9. Проанализируйте ситуацию, когда участники игры «семейный спор» принимают решение с помощью подбрасывания монеты: если монета выпадает «орлом», игроки идут в театр, если «решеткой» - на футбол. Является ли такой подход более «оптимальным» и «рациональным», чем теоретико-игровой подход? Объясните свой ответ.

Что произойдет, если монета будет всегда выпадать «орлом»?

10. Может ли доминироваться осторожная стратегия?

11. Является ли равновесие в доминирующих стратегиях равновесием Нэша? Объясните ответ.

12. Проанализировать с позиций теории игр известную библейскую историю о суде царя Соломона и его решении (3 Царств, 3:16-28).

«Тогда пришли две женщины блудницы к царю и стали пред ним. И сказала одна женщина: о, господин мой! я и эта женщина живем в одном доме; и я родила при ней в этом доме; на третий день после того, как я родила, родила и эта женщина; и были мы вместе, и в доме никого постороннего с нами не было; только мы две были в доме; и умер сын этой женщины ночью, ибо она заспала его; и встала она ночью, и взяла сына моего от меня, когда я, раба твоя, спала, и положила его к своей груди, а своего мертвого сына положила к моей груди; утром я встала, чтобы покормить сына моего, и вот, он был мертвый; а когда я всмотрелась в него утром, то это был не мой сын, которого я родила. И сказала другая женщина: нет, мой сын живой, а твой сын мертвый. А та говорила ей: нет, твой сын мертвый, а мой живой. И говорили они так пред царем. И сказал царь: эта говорит: мой сын живой, а твой сын мертвый; а та говорит: нет, твой сын мертвый, а мой сын живой. И сказал царь: подайте мне меч. И принесли меч к царю. И сказал царь: рассеките живое дитя надвое и отдайте половину одной и половину другой. И отвечала та женщина, которой сын был живой, царю, ибо взволновалась вся внутренность ее от жалости к сыну своему: о, господин мой! отдайте ей этого ребенка живого и не умерщвляйте его. А другая говорила: пусть же не будет ни мне, ни тебе, рубите. И отвечал царь и сказал: отдайте этой живое дитя, и не умерщвляйте его: она - его мать. И услышал весь Израиль о суде, как рассудил царь; и стали бояться царя, ибо увидели, что мудрость Божия в нем, чтобы производить суд».

Проанализируйте данную ситуацию в терминах теории игр. Хотя одна из женщин сделала «первый ход», эту ситуацию можно рассматривать как синхронную игру: Соломон мог установить правила иначе (например, спросить о решении женщин в разных комнатах), и получить тот же результат.

а) Представьте игру в нормальной форме.

Какие «стратегии» имеют женщины? Какие «платежи» могут быть установлены для настоящей матери и «самозванки» при их возможных стратегиях? (При определении платежей учитывайте возможные последствия подчинения или неподчинения царскому приказу). Для простоты определите платежи от 1 (наихудший исход) до 4 (наилучший исход).

Есть ли в данной игре доминирующая стратегия для матери? Есть ли в данной игре доминирующая стратегия для «самозванки»?

Есть ли в данной игре ситуация равновесия?

Объясните Ваши ответы.

б) Представьте игру в развернутой форме. Покажите, что в данной игре нет преимущества «первого хода».

в) Если бы ненастоящая мать знала заранее о решении царя, как бы она могла изменить свое решение? Изменились бы ее платежи в игре? Изменилось бы в таком случае решение игры (доминантные стратегии, ситуация равновесия)? Смог бы в таком случае Соломон принять правильное решение?

г) Если бы знание фальшивой матери о решении царя входило в «общее знание», изменилось бы решение игры? Объясните Ваш ответ.

д) Если бы «самозванка» верила, что она настоящая мать, изменилось бы решение игры? Объясните Ваш ответ. Смог бы Соломон найти решение?